6. Регулярное и нерегулярное движение в консервативных системах

До сих пор рассматривались только диссипативные системы, для которых фазовый объем со временем уменьшается. С их помощью описывают множество физических явлений — от турбулентности до процессов в электрических цепях. Другой широкий класс физических систем, где хаотическое движение было обнаружено (Poincare, 1892) задолго до открытия странного аттрактора в диссипативных системах (Lorenz, 1963), — это консервативные системы, к которым относятся все динамические системы классической механики.

На эту тему имеются прекрасные обзорные работы (Berry, 1978; Hellemann, 1980), а также книга (Lichtenberg, Liebermann, 1982), поэтому наше рассмотрение консервативных систем будет кратким (по сравнению с пятью главами о диссипативных системах).

В дальнейшем будут рассмотрены либо консервативные системы, описываемые гамильтоновыми уравнениями движения

для которых фазовый объем сохраняется вследствие теоремы Лиувилля

либо дискретные отображения — для них сохранение объема в некотором смысле также имеет место.

Из сохранения фазового объема немедленно следует, что в фазовом пространстве консервативных систем (в отличие от диссипативных) нет притягивающих областей, т. е. нет ни притягивающих

Рис. 90. а - В диссипативных системах траектории притягиваются к неподвижной точке и объем сжимается; б — в консервативных системах точки вращаются вокруг неподвижной эллиптической точки и объем сохраняется.

неподвижных точек, ни притягивающих предельных циклов, ни странных аттракторов (рис. 90 и приложение 7). Тем не менее в консервативных системах хаос с положительной А-энтропией также возможен, т. е. в фазовом пространстве «странные», или «хаотические», области имеются, но они могут тесно переплетаться с областями регулярного поведения и притягивающими не являются.

Приведем теперь несколько аргументов в пользу изучения консервативных систем, а затем кратко изложим содержание данной главы.

Не останавливаясь на изучении отдельных траекторий, перейдем к исследованию качественных свойств движения в целом, т. е. будем рассматривать семейства траекторий (рис. 91). При этом сконцентрируем внимание на поведении консервативных систем на больших временах. Этот аспект нас интересует в связи с реальными физическими задачами.

а) Нам хотелось бы, например, получить ответ на вопросы: устойчивы ли галактики и системы типа Солнечной при взаимных возмущениях тел, входящих в их состав? Будут ли они со временем коллапсировать или разлетятся? Здесь характерный масштаб упомянутых больших времен очень велик — порядка возраста Вселенной. Гораздо короче он в накопительных кольцах, используемых в физике высоких энергий, а также в экспериментах по термоядерному синтезу (где частицы делают очень большое количество оборотов за доли секунды). В таких системах возникновения нерегулярного или хаотического движения нужно избежать любой ценой; при этом также необходимо знать характер их поведения на больших временах.

б) Другой вопрос возникает в связи с проблемой обоснования статистической механики, где не делалось попыток проследить

Рис. 91. Переход от локальных свойств движения к глобальным в классической механике. I. Пошаговое интегрирование уравнений движения. II. а — Локальная устойчивость; б — локальная неустойчивость. III. Топологические свойства траекторий: а — периодическое движение на торе; б — движение на торе с иррациональным соотношением частот. IV. Потоки в фазовом пространстве: а — без перемешивания; б — с перемешиванием (Balescu, 1975).

детально за движением каждого из многочисленных объектов сложной системы и вместо этого принимается эргодическая гипотеза. Согласно ей, с течением времени система перемещается по всей разрешенной области фазового пространства (по поверхности постоянной энергии) и в конце концов покрывает эту область равномерно. В этом случае усреднение по времени можно заменить усреднением по фазовому пространству. Но справедлива ли эргодическая гипотеза? Чтобы ответить на этот вопрос, нужно знать, как ведут себя гамильтоновы системы с N степенями свободы, когда N стремится к бесконечности (при этом отношение N к объему должно быть постоянным).

В первой половине данной главы рассмотрим классическую механику простых гамильтоновых систем с небольшим числом степеней свободы и покажем, что в большинстве случаев их движение в фазовом пространстве имеет чрезвычайно сложный характер и не является ни регулярным, ни простым эргодическим. Это означает, что регулярное движение, рассматриваемое в большинстве учебников по классической механике, фактически является исключительным и скорее необычным.

Далее мы обсудим некоторые простые модельные системы, которые, несмотря на малое число степеней свободы, являются эргодическими. В конце главы приведем классификацию хаотических движений в консервативных системах.