5.3. Описание аттрактора по измеренному сигналу

Наблюдая в эксперименте сигнал, кажущийся случайным, хочется знать, какую он содержит информацию о странном аттракторе. Для ответа на этот вопрос мы определим вначале в дополнение к размерности Хаусдорфа D бесконечное множество размерностей описывающих неоднородность аттрактора (рис. 63). Оказывается, что величину (оценку снизу размерности Хаусдорфа) можно получить непосредственно из измерений, однако при этом требуется знать развитие во времени всех составляющих в фазовом пространстве (например, ), в модели Лоренца). Теорема Такенса (1981) утверждает, что такие важные свойства аттрактора, как, например, можно восстановить по измерениям лишь одной составляющей (наблюдаемой). В ряде работ (Grassberger, Hentschel, Procaccia, 1983) показано, что действительно по одной временной реализации можно определить следующие характеристики:

т. е. нижнюю границу размерности Хаусдорфа d, т. е. размерность вложения аттрактора; амплитуду белого шума в сигнале (т. е. нерегулярность, связанную с динамикой движения на аттракторе, можно отличить от воздействующего на систему белого шума);

нижнюю границу А-энтропии (т. е. можно определить, «насколько хаотичен» сигнал).

Наконец, в этом разделе мы обсудим гипотезу Каплана — Йорки (Kaplan, Yorke, 1979), которая связывает статическую структуру аттрактора (определяемую размерностями с динамикой движения на аттракторе (характеризуемой ляпуновскими показателями).

Размерности странного аттрактора. Так же как в разд. 5.2, преобразуем траекторию динамической системы на странном аттракторе в последовательность точек -мерное фазовое пространство разделим на ячейки Вероятность попадания точки, принадлежащей аттрактору, в ячейку

где — число точек в этой ячейке.

Для описания неоднородной статической структуры аттрактора введем бесконечное множество размерностей связанных с степенями

из (5.24) получим

т. е. обычное определение. (3.69) хаусдорфовой размерности аттрактора ).

При из (5.24) следует

где

    (5.27)

— приращение информации, получаемое, если известны все и становится известно, что траектория проходит через ячейку. Поэтому величину называют информационной размерностью; она показывает, как возрастает получаемая информация при .

Для однородных аттракторов, когда все равны, т. е. получим

т. e. информационная размерность равна размерности Хаусдорфа. Таким образом, разность — мера неоднородности аттрактора.

Кроме того, поскольку величина ограничена сверху значением

(см. приложение 6), получаем, что информационная размерность всегда меньше или равна хаусдорфовой

Это утверждение можно обобщить:

где равенство справедливо только для однородного аттрактора.

В табл. 8 (Hentschel, Procaccia, 1983) приведены численные значения нескольких для трех различных аттракторов. Отметим, что величина может быть конечной, т. е. спектр размерностей может быть ограниченным.

Корреляционный интеграл. Численное определение размерностей путем покрытия фазового пространства множеством кубов объема и подсчета числа точек, попадающих в выбранную ячейку, чрезвычайно трудоемко и практически невозможно для аттракторов больших размерностей. Однако для частного случая

Таблица 8. Размерности различных аттракторов

корреляционную размерность

можно очень просто определить из корреляционного интеграла

который в свою очередь может быть оценен непосредственно для последовательностей точек. Величина связана с следующим образом:

На рис. 65 показано, как определяется из для отображения Хенона.

Рис. 65. Зависимость от для отображения Хенона. Наклон дает значение (Grassberger, Procaccia, 1983а).

Восстановление аттрактора по временной последовательности. Одновременное измерение всех компонент вектора не всегда возможно (что очевидно, например, для бесконечномерной системы). Если определить размерность системы по числу начальных условий, то так называемое уравнение Маккея — Гласса (Маckey, Glass, 1977)

описывающее регенерацию кровяных телец, очевидно, представляет простой пример бесконечномерной системы, так как для его решения должны быть известны все величины на интервале (как начальные условия). Как же следует поступать в этом или в более простом случае, когда есть аттрактор, вложенный в -мерное пространство, а измеряется только одна компонента сигнала?

Такенс (Takens, 1981) показал, что можно восстановить некоторые свойства аттрактора в фазовом пространстве по временной последовательности одной составляющей. Вместо весьма громоздкого доказательства мы представим следующие упрощенные доводы. Рассмотрим, например, двумерный поток, порождаемый уравнением

Каждая точка однозначно определяется точкой , и связь между ними взаимно однозначна, так как траектории не пересекаются (иначе они не могут однозначно определяться начальными условиями). Далее построим последовательность векторов

Так как компоненты связаны с однозначным соотношением

якобиан которого , то, очевидно, информация, содержащаяся в последовательностях

например), одинакова, и обе последовательности приводят к одинаковым характеристическим размерностям. Простой пример, для которого действительно полностью эквивалентны, — это круг:

Следует, однако, понимать, что приведенные доходы чисто эвристические и могут применяться к случаям появления странного аттрактора лишь не очень строго. В действительности Такенс (Takens, 1981) доказал следующее:

Если порождает -мерный поток, то

где — произвольная составляющая обеспечивает гладкое вложение для этого потока, и метрические свойства обоих пространств -мерного -мерного одинаковы, т. е. расстояния в связаны между собой коэффициентом, который равномерно ограничен и отличен от нуля.

На рис. 66 приведена зависимость от для аттрактора Лоренца. Нижняя кривая получена непосредственно по трехмерной последовательности а верхняя — по

Рис. 66. Зависимость от для модели Лоренца. Верхняя кривая вычислена по временной последовательности одной переменной Нижняя кривая получена по трехмерной последовательности. Обе кривые имеют наклон (Grassberger, Procaccia, 1983а).

Рис. 67. Вычисление размерности по временной последовательности одной переменной уравнения Маккея — Гласса при значениях параметров дает (Hentschel, Procaccia, 1983).

восстановленной последовательности Наклоны обеих кривых одинаковы, т. е. корреляционная размерность, полученная обоими методами, одна и та же.

Размерность вложения. На рис. 67 показана зависимость корреляционного интеграла от для системы Маккея — Гласса. Хотя эта система имеет бесконечную размерность, ее корреляционная размерность конечна и меньше 3. Поэтому для определения достаточно временной последовательности трехмерных векторов Размерность в пространстве начиная с которой перестает изменяться, есть минимальная размерность вложения аттрактора, т. е. наименьшая целая размерность пространства, содержащего весь аттрактор.

Разделение динамического хаоса и внешнего белого шума. Корреляционный интеграл можно также использовать как средство, позволяющее различать динамические нерегулярности, определяемые внутренними свойствами странного аттрактора, и внешний белый шум. Предположим, что странный аттрактор вложен в -мерное пространство и в систему вносится белый шум. Каждая точка на аттракторе будет при этом окружена равномерно заполненным -мерным облаком точек. Радиус этого облака определяется амплитудой шума При эти облака рассматриваются в уравнении (5.33) как точки, и наклон графика зависимости от дает корреляционный показатель аттрактора. При большая часть точек попадает внутрь равномерно заполненных

Рис. 68. Зависимость от для отображения Хенона, вложенного в трехмерное пространство. Отображение без шума (кривая 1) дает Кривая 2 — для отображения со случайным шумом амплитудой Кривая 3 — для отображения с шумом . Кривые 2 и 3 имеют изломы на масштабах, соответствующих уровням шума, ниже которых наклоны приблизительно равны 3 (Веп-Mizrachi et al., 1983).

-мерных ячеек и наклон становится равным d, как показано на рис. 68 для аттрактора Хенона с шумом.

Нижняя граница колмогоровской энтропии. Покажем теперь, что соответствующее обобщение корреляционного интеграла позволяет найти оценку снизу колмогоровской энтропии К.

Запишем еще раз уравнение (5.11), связывающее К с временной последовательностью для отображения

По аналогии с обобщим это выражение:

Нетрудно видеть, что

Выделим особо где

Далее обобщим также корреляционный интеграл (5.34):

Фотографии

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

Фотографии на вклейке относятся к гл. 3 и 5. Ссылки можно найти в списках литературы к этим главам на с. 221 и 225.

I. Двухпериодическое течение в эксперименте Бенара. На рис. 1 - 8 представлены интерференционные картины для ячейки Бенара в двухпериодическом режиме (т. е. спектр мощности содержит две несоизмеримые частоты, см. также разд. 1.1). Интервал времени между соседними изображениями — 10 с. Первый период составляет около 40 с; по истечении этого времени «пасть» в центре изображения повторяется (см. рис. 1 и 5), но более мелкие детали (например, в правых верхних углах рнс. 1 и 5) различны, т. е. движение ие является просто периодическим (из фильма P. Berge, М. Dubois, CEN Sactey, Gif-sur-Yvette, France).

II. Нелинейный ълектронный осциллятор (см. также рис. 38). Фазовые портреты (зависимость напряжения от тока на нелинейном диоде) на экране осциллографа. При увеличении управляющего напряжения наблюдается переход через удвоенне периода. Вид нелинейности диода, использованного в этом эксперименте, отличался от (3.114) (Е. Suchla, нз (Klinker et al., 1984)).

III. Неустойчивость Тейлора: а — образование конвекционных вихрей; б — вихри начинают колебаться; в — более сложные колебания; г — хаос (Pfister, 1984; см. также разд. 5.4).

IV. Нарушение сердцебиения. Разность потенциалов (черная линия) поперек мембраны одной клетки из агрегата клеток сердца эмбриона цыпленка, а — Синхронизация фаз стимулирующим импульсом; б — стохастическая динамика; интерполяционные сокращения. Период стимулирующих импульсов (показаны красным) изменяется от 240 мс до 560 мс (б) (Glass et al., 1983).

V. Хаотическая электропроводность в кристаллах НБН. Дифракционная картина двойного лучепреломления в сегнетоэлектрике показывает границы областей, отражающие перенос заряда вблнзн перехода к хаосу (см. также рис. 82). Для простоты темные линии настоящего изображения показаны красным цветом (Martin et al., 1984).

VI. Спектр мощности кавитационного шума. Амплитуда шума кодируется цветом; давление падающей волны линейно растет во времени. При увеличении давления наблюдается переход через субгармоннки — к хаосу. Рисунок представляет собой цветной вариант рис. 39,в (разд. 3.5) (W. MeyerIlse, из (Lauterborn, Cramer, 1981).

VII. Сечение Кассини. В кольце Сатурна (а) наблюдается главная щель (б) — так называемое сечение Касснна (движение по этой орбите неустойчиво). См. также рис. 106 в разд. 6.3. (Рисунки NASA №№ Р-23068 и Р-23207, с разрешения Bitdarchiv, Baader Planetarium.) На фото VIII—XV показаны фрактальные границы в комплексной области.

VIII. Алгоритм Ньютона для Области притяжения трех корней окрашены в красный, зеленый и синий цвета ((Peitgen, Richter, 1984); см. также разд. 5.7).

IX. Множество Мандельброта (черный цвет) в комплексной плоскости ((Peitgen, Richter, 1984); см. также разд. 5.7).

X—XII. Увеличенное изображение областей A, D, Е на фото IX (Peitgen, Richter, 1984).

XIII. Увеличенное изображение «хвоста морского конька» на фото IX (Peitgen, Richter, 1984).

XIV. «Глаз морского конька» с фото IX (Peitgen, Richter, 1984).

XV. Деталь «хвоста» с фото IX (Peitgen, Richter, 1984).

в виде

Вместе с (5.44) это дает

Обобщенный корреляционный интеграл также можно вычислять по измеренному сигналу, и означает достаточное условие существования хаоса. На рис. 69 показаны результаты вычисления для отображения Хенона при

Гипотеза каплана — йорки. Ранее мы разграничивали динамические свойства странного аттрактора, такие, как показатели Ляпунова, и статистические свойства, определяемые хотя эти величины в действительности связаны. Например, если в двумерном фазовом пространстве имеется пото с двумя отрицательными показателями Ляпунова, то, как известно, аттрактор стягивается в линию с для всех (рис. 70).

Рис. 69. а — Зависимость от при различных значениях вычисленная по последовательности точек отображения Хенона ; б — при функция , вычисленная по (5.47), стремится к величине (Grassberger, procaccia, 1983).

Рис. 70. Связь между размерностями простых аттракторов, вложенных в трехмерное фазовое пространство, и знаками трех ляпуновских показателей, приведенных в скобках (0 означает нулевое значение ляпуновского показателя) (Shaw, 1981).

Другой пример — аттрактор, порожденный преобразованием пекаря, не сохраняющим площадь (5.7 а), (5.7 б). Его хаусдорфова размерность (см. (5.10)) может быть выражена через показатели Ляпунова

Каплан и Йорки (Kaplan, Yorke, 1979) предложили следующую обобщенную формулу для любого странного аттрактора:

Здесь — хаусдорфова размерность по Каплану — Йорки, а показатели Ляпунова упорядочены , так что j — наибольшее целое, для которого Хотя эта формула

проверялась численно (Russel et al., 1980) и показано, что она справедлива для некоторых систем (табл. 9), однако, по-видимому, она точна лишь для однородных аттракторов, и определение границ ее применимости остается актуальной задачей для дальнейшего исследования.

Таблица 9. Проверка гипотезы Каплана — Йорки