Введение

Книгу, озаглавленную «Детерминированный хаос», естественно будет начать с объяснения самых общих понятий. Согласно Британской энциклопедии, слово «хаос» происходит от греческого «хаос». Первоначально оно означало бесконечное пространство, существовавшее до появления всего остального. Позднее римляне интерпретировали хаос как изначальную сырую бесформенную массу, в которую Создатель привнес порядок и гармонию. В современном понимании, которым мы и будем пользоваться, хаос означает состояние беспорядка и нерегулярности.

В дальнейшем мы будем рассматривать физические системы, поведение которых по времени детерминировано, т. е. существует правило в виде дифференциальных или разностных уравнений, определяющее их будущее исходя из заданных начальных условий. Было бы естественно предположить, что детерминированное движение (описываемое, например, непрерывными дифференциальными уравнениями) достаточно регулярно и далеко от хаотичности, поскольку последовательные состояния непрерывно развиваются одно из другого. Но еще на грани нашего и предыдущего веков математик А. Пуанкаре (Ротсагё, 1982) открыл, что в некоторых механических системах, эволюция которых во времени определяется уравнениями Гамильтона, может появляться хаотическое движение. К сожалению, это было воспринято многими физиками как курьез, и прошло около 70 лет, пока метеоролог Е. Н. Лоренц (Lorenz, 1963) не обнаружил, что даже простая система из трех связанных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка может привести к совершенно хаотическим траекториям. Работа

Лоренца, значимость которой сегодня общепризнанна, в течение многих лет после публикации также оставалась малоизвестной. Он открыл один из первых примеров детерминированного хаоса в диссипативных системах.

В дальнейшем под детермированным хаосом подразумевается нерегулярное, или хаотическое, движение, порожденное нелинейными системами, для которых динамические законы однозначно определяют эволюцию во времени состояния системы при известной предыстории. В последние годы благодаря новым теоретическим результатам, наличию быстродействующих компьютеров и развитию техники эксперимента стало ясно, что это явление часто встречается в природе и имеет далеко идущие последствия во многих областях науки (см. длинный, но далеко не полный перечень в табл. 1).

Таблица 1. Некоторые нелинейные системы, в которых проявляется детерминированный хаос (цифры относятся к ссылкам на литературу)

Заметим, что нелинейность — необходимое, но не достаточное условие для возникновения хаотического движения (линейные дифференциальные или разностные уравнения могут быть решены преобразованием Фурье и не приводят к хаосу).

Наблюдаемое во времени хаотическое поведение возникает не из-за внешних источников шума (их нет в уравнениях Лоренца), не из-за бесконечного числа степеней свободы (в системе Лоренца их лишь 3) и не из-за неопределенности, связанной с квантовой механикой (рассматриваемые системы чисто классические). Настоящая первопричина нерегулярности определяется свойством нелинейных систем экспоненциально быстро разводить первоначально близкие траектории в ограниченной области фазового пространства (например, трехмерного в системе Лоренца).

Таким образом, становится практически невозможно предсказать

длительное поведение таких систем, поскольку реально начальные условия можно задать лишь с конечной точностью, а ошибки экспоненциально нарастают. Если попытаться решить такую нелинейную систему на ЭВМ, результат на все более дальних временах зависит от все большего количества цифр в (иррациональных) числах, представляющих начальные условия. Так как цифры в иррациональных числах (а рациональные числа на действительной оси есть множество меры 0) распределены нерегулярно, траектория становится хаотической.

Лоренц назвал эту чувствительность к начальным условиям эффектом бабочки, так как решение его уравнений (приближенно описывающих также потоки воздуха в атмосфере Земли, т. е. задачу предсказания погоды) может изменить взмах крыльев бабочки. Похоже, что иногда это подтверждается повседневным опытом.

При осмыслении изложенных результатов сразу же возникает несколько фундаментальных вопросов:

Можно ли предсказать (например, по виду соответствующих дифференциальных уравнений), реализуется ли в системе детерминированный хаос?

Можно ли определить понятие хаотического движения более строго с точки зрения математики и разработать для него количественные характеристики?

Каково воздействие этих результатов на различные области физики? Означает ли существование детерминированного хаоса конец долговременной предсказуемости в физике для некоторых нелинейных систем или по хаотическому сигналу еще можно что-то узнать?

Последний вопрос действительно относится к основам физики, а именно к проблеме предсказуемости. Потрясение, вызванное открытием детерминированного хаоса, можно сравнить с тем, какое последовало за открытием возможности лишь статистических предсказаний в квантовой механике.

Те из вышеперечисленных вопросов, на которые уже имеются какие-то ответы, обсуждаются в этой книге. Очевидно, однако, что в этой относительно новой области нерешенных задач много больше, чем решенных.

Остальная часть введения представляет краткий обзор содержания книги.

Как показано на рис. 1. необходимо различать детерминированный хаос в диссипативных системах (например, возбуждаемый

Рис. 1. Классификация систем, которые проявляют детерминированный хаос. (В дальнейшем мы рассматриваем только классические диссипативные системы, т. е. неквантовые системы с диссипацией.)

маятник с трением) и в консервативных системах (например, движение планет, подчиняющееся гамильтоновым уравнениям).

Первые пять глав посвящены диссипативным системам. Вначале дается обзор некоторых типичных экспериментов, в которых различными методами наблюдается детерминированный хаос. На следующем этапе объясняются механизмы, приводящие к детерминированному хаосу в простых модельных системах, и разрабатываются количественные меры для описания хаотического сигнала. Это позволяет отличать разные типы хаоса. Как далее показано, к настоящему времени известны по крайней мере три сценария, или пути, в соответствии с которыми нелинейные системы могут стать хаотическими при изменении управляющего параметра. Интересно, что все эти пути могут быть реализованы экспериментально; при этом обнаруживается их удивительное универсальное поведение, напоминающее универсальность, найденную в равновесных фазовых переходах второго рода. (Отметим, что переход к хаосу в диссипативных системах происходит только при внешнем возбуждении, т. е. когда система открыта.) В этом смысле универсальность означает, что существуют такие основные свойства системы (например, критические показатели вблизи перехода к хаосу), которые зависят только от глобальных свойств системы (например, от размерности).

Совсем недавно один из таких путей к хаосу был открыт в работах (Grossmann, Thomae, 1977; Feigenbaum, 1978; Coullet, Tresser, 1978). Рассматривалось простое разностное уравнение, используемое, например, для описания зависимости от времени биологической

популяции. Обнаружено, что популяция колеблется между устойчивыми величинами (неподвижными точками), число которых удваивается при определенных значениях внешнего параметра. Это продолжается, пока число неподвижных точек не станет бесконечным при конечном значении параметра, при этом изменение популяции во времени становится нерегулярным. Как показал Фейгенбаум (и это было основным достижением), эти результаты не ограничены данной частной моделью, а являются действительно универсальными и справедливы для большого числа физических, химических и биологических систем. Это открытие вызвало взрыв теоретической и экспериментальной активности. Мы рассмотрим этот переход в гл. 3 и покажем, что его универсальные свойства можно вычислить, используя метод функциональных ренормгрупп.

Другой переход к хаосу, так называемая перемежаемость, был открыт в работе (Manneville, Pomeau, 1979). Перемежаемость означает, что сигнал, развивающийся во времени регулярно (или ламинарно), прерывается статистически распределенными промежутками нерегулярного движения (перемежающимися всплесками). При изменении внешнего управляющего параметра среднее число этих всплесков нарастает до тех пор, пока движение не становится полностью хаотическим. В гл. 4 показано, что этот переход также обладает универсальными свойствами и является универсальным механизмом генерации фликкер-шума в нелинейных системах.

Третья возможность была открыта в работах (Ruelle, Takens, 1971; Newhouse et al., 1978). В 70-х годах они предложили модель перехода к турбулентному движению, отличающуюся от предложенной много ранее модели (Ландау, 1944, 1986). Ландау рассматривал турбулентность как предел бесконечной последовательности неустойчивостей (бифуркаций Хопфа), каждая из которых порождает новую основную частоту. Однако Рюэль, Такенс и Ньюхауз показали, что уже после двух неустойчивостей на третьем шаге траектория начинает притягиваться к ограниченной области фазового пространства, в которой первоначально близкие траектории экспоненциально расходятся, так что движение становится хаотическим. Эти особые области фазового пространства называются странными

аттракторами. Это понятие объясняется в гл. 5, где также обсуждаются несколько методов получения информации о структуре аттрактора по измерениям случайного во времени сигнала. Сценарий Рюэля — Такенса — Ньюхауза (так же, как и два предыдущих) хорошо проверен экспериментально, и мы представим некоторые экспериментальные данные, явно указывающие на возникновение странных аттракторов.

Чтобы избежать путаницы, вызванной употреблением слова «турбулентность», заметим, что здесь подразумевается только турбулентность во времени. Результаты, полученные Рюэлем, Такенсом и Ньюхаузом, также относятся к начальной стадии турбулентности или хаотического движения во времени. На самом деле одна из целей (хотя еще и не результат) исследования детерминированного хаоса в гидродинамических системах — понять механизмы происхождения развитой турбулентности, под которой подразумевается нерегулярное поведение и во времени, и в пространстве.

Обратимся теперь ко второй ветви на рис. 1, обозначающей хаотическое движение в консервативных системах.

Многие учебники дают неверное представление, утверждая, что в классической механике системы большей частью интегрируемы. Как отмечалось выше, уже Пуанкаре (1892) знал, что, например, неинтегримая задача трех тел в классической механике может привести к полностью хаотическим траекториям. Примерно 60 лет спустя (Колмогоров, 1954; Арнольд, 1963; Moser, 1967) было доказано, что в классической механике движение в фазовом пространстве не является ни полностью регулярным, ни полностью нерегулярным, а тип траектории зависит от выбора начальных условий (сейчас это утверждение носит название теоремы КАМ). Таким образом, устойчивое регулярное движение в классической механике — исключение в противоположность утверждениям многих публикаций.

Довольно интересно исследование длительной эволюции консервативных систем, обсуждаемое в гл. 6. Оно касается таких вопросов, как: устойчива ли Солнечная система, как избежать нерегулярности движения в ускорителях частиц, достаточно ли силен самопроизвольный детерминированный хаос в некоторых гамильтоновых системах для доказательства гипотезы эргодичности? (Гипотеза эргодичности положена в основу классической статистической механики и заключается в том, что траектория равномерно заполняет энергетически разрешенные области фазового пространства, так что средние по времени величины можно заменить усредненными по соответствующему фазовому пространству.)

Наконец, в последней главе мы рассмотрим поведение квантовых систем, для которых в классическом пределе появляется хаос. Такие исследования важны, например, для решения задачи фотодиссоциации, когда молекулу возбуждают фотонами лазера и необходимо знать, как поступающая энергия распределяется по квантовым уровням (соответствующая классическая система могла бы стать хаотической, так как молекулярные силы нелинейны). На нескольких примерах будет показано, что конечная величина постоянной Планка и граничные условия приводят к почти периодическому поведению квантовой системы, даже если соответствующая классическая система демонстрирует хаос. Хотя различие между интегрируемыми и неинтегрируемыми (хаотическими) системами по-прежнему отражается в некоторых свойствах их квантовых двойников (например, в энергетических спектрах), многие задачи в этой области остаются нерешенными.