5.7. Изображения странных аттракторов и фрактальных границ

В конце своей статьи о странных аттракторах в “The Mathematical Intelligencer” (Ruelle, 1980) Д. Рюэль пишет: «Я не говорю уже об эстетической привлекательности странных аттракторов. Эти системы кривых, эти облака точек иногда напоминают фейерверки галактик, а иногда странные таинственные заросли. Это область для исследования, в которой будут открыты новые гармонии». На рис. 86 показаны несколько примеров странных аттракторов, свидетельствующих в пользу этого утверждения.

Мы увидим, далее, что даже границы областей притяжения простых рациональных отображений комплексной плоскости в себя могут иметь очень сложную структуру. Изображения этих объектов в цвете показывают удивительное сходство с некоторыми самоподобными рисунками М. С. Эшера.

Начнем с исследования областей притяжения неподвижных точек отображения

(см. скан)

Рис. 86. а, б — Оба рисунка набраны из разных частей странных аттракторов, возникающих при решении дискретного аналога уравнения и уравнения маятника (Prufer, 1984; Peitgen, Richter, 1984); в — сечение Пуанкаре траекторий осциллятора Дюффинга с возбуждением в хаотическом режиме (Kawakami, 1984).

в комплексной плоскости. Уравнение (5.89) — это алгоритм Ньютона для решения уравнения и т. д.) Можно было бы предположить, что различные области притяжения для корней z на единичной окружности будут разделены прямыми линиями. Но если решать уравнение (5.89) на компьютере и окрашивать начальные точки, приводящие к в красный, зеленый и синий цвета соответственно (и в черный, если сходимости нет), то оказывается, что граница областей притяжения состоит из сильно переплетенных самоподобных структур (см. рис. 87 и фото VIII на вклейке). Эта фрактальная граница является решением нетривиальной задачи о раскраске плоскости тремя цветами так, что каждая граничная точка окрашенной области (например, красной) служит также граничной для других областей (зеленой, голубой).

Такие границы областей притяжения рационального отображения принято называть множествами Жюлиа (Julia, 1918); более точное определение см., например, (Brolin, 1965). «Обычно» множества Жюлиа фрактальны (для ) множество Жюлиа —

Рис. 87. Самоподобие множества Жюлиа для уравнения (5.89) (см. также фото VIII на вклейке, Peitgen, Richter, 1984).

Рис. 88. Два характерных множества Жюлиа для в уравнении (5.90). а) при при

единичная окружность) и движение точки на этих множествах хаотично.

Рассмотрим отображение

в комплексной плоскости для комплексных значений параметра с (уравнение (5.90) — логистическое отображение ) в новых переменных

Граница области притяжения образует множество Жюлиа для ), зависящее от с:

На рис. 88 показаны несколько примеров этих множеств. Существует важная теорема (Julia, 1918; Fatou, 1919), утверждающая, что множество связно тогда и только тогда, когда

Так как этот предел зависит только от с, рассмотрим множеством значений параметра с в комплексной плоскости, для которого связно, т. е.

М называется множеством Мандельброта в честь исследователя, который впервые (Mandelbrot, 1980) опубликовал изображение (рис. 89). Видно, что М также имеет фрактальную структуру (но не является множеством Жюлиа). Дальнейшее расширение этого

Рис. 89. Соответствие между структурой «множества Мандельброта» в плоскости параметра с и структурой бифуркаций для (преобразованного) логистического отображения с вдоль действительной оси с (Peitgen, Richter, 1984).

исследования — «если с не принадлежит М, то (Peitgen, Richter, 1984) — позволило ввести «линии уровня» следующим образом: начальная точка окрашивается в соответствии с числом итераций, необходимых, чтобы точка покинула круг заданного радиуса R. Показано (Douady, Hubbard, 1982), что линии равного цвета можно интерпретировать как эквипотенциальные, если множество М рассматривать как заряженный проводник. На фото VIII—XV (на вклейке) представлены прекрасные результаты этой работы, возвращающие нас к замечанию Рюэля, приведенному в начале этого раздела.