3.1. Параметрическая зависимость итераций

Чтобы читатель получил представление о данном вопросе, мы представим здесь результаты по итерациям логистического отображения. Эти результаты получены с помощью компьютера при итерировании уравнения (3.1) для разных значений параметра . На ряс. 19 показаны точки накопления итераций ) при функция от , а также приведен показатель Ляпунова X, вычисленный по формуле (2.9).

Мы будем различать бифуркационный режим при где показатель Ляпунова всегда отрицателен (равным нулю он становится лишь в бифуркационных точках ) и хаотический режим при где большинство значений X положительно, что указывает на хаотическое поведение. Хаотический режим прерывается -окнами, где последовательность вновь оказывается в пределе периодической, что соответствует неравенству

Численные результаты можно подытожить следующим образом.

1. Периодический режим

а) Значения параметра при которых число устойчивых периодических точек удваивается и становится равным удовлетворяют масштабному соотношению, или, как часто говорят, имеют скейлинг

б) Расстояния от точких до ближайшей к ней точки

Рис. 20. Расстояние от точких до ближайшей к ней точки на суперустойчивом -цикле (схематично).

на -цикле (рис. 20) подчиняются следующему соотношению:

в) Константы Фейгенбаума имеют значения

Заметим также (и в дальнейшем этим воспользуемся), что значения на рис. 20 имеют тот же скейлинг, что и

    (3.5)

и, кроме того, выполняется равенство

2. Хаотический режим

а) Под действием «обратных» бифуркаций хаотические интервалы сближаются, пока при итерации не распределятся на всем интервале [0, 1].

б) -окна характеризуются периодическими -циклами , которые подвергаются последовательным бифуркациям удвоения и т. д. Соответствующие значения - изменяются согласно соотношению, аналогичному (3.2), в котором величина та же, а константы другие.

в) Утроение а также учетверение периодов и т. д. происходит при для различных констант Фейгенбаума 6, которые тоже являются универсальными (например, ).