4.4. Экспериментальные наблюдения перехода через перемежаемость

В табл. 6 собраны некоторые типичные измеримые свойства перехода к хаосу через перемежаемость. Разные виды перемежаемости можно различить по формуле сигнала и по распределению длин ламинарных участков.

Далее будет представлен вывод и описаны два характерных эксперимента, в которых обнаружена перемежаемость 1-го рода. Этот раздел заканчивается кратким сообщением о первом экспериментальном наблюдении перемежаемости 3-го рода (перемежаемость 2-го рода недавно найдена в реакции Белоусова — Жаботинского (Roux et al., 1984).

Таблица 6. Характерные свойства различных типов перемежаемости (см. скан)

Распределение длин ламинарных участков. Предположим, что сигнал случайным образом (с вероятностью ) возвращается в ламинарный режим, так что можно использовать уравнение (4.54):

Чтобы получить зависимость заменим (как и в ) отображение Пуанкаре для перемежаемости 1-го рода (см. табл. 4)

приближенным дифференциальным уравнением для ламинарной области

После интегрирования получим

где с — максимальное значение в ламинарном режиме (рис. 50). Из уравнений (4.66) и (4.69) следует

и

Распределения для двух других видов перемежаемости получаются таким же образом:

Для перемежаемости 2-го рода уравнение (4.66) необходимо заменить на так как отображение Пуанкаре двумерно.

Перемежаемость i-ro рода. На рис. 55 показана осциллограмма вертикальной скорости в эксперименте Бенара. Поведение сигнала характерно для перемежаемости 1-го рода.

В нелинейном RCL-осцилляторе, описанном в разд. 3.5, также наблюдается перемежаемость. Существование перемежаемости 1-го

(см. скан)

Рис. 55. Перемежаемость в эксперименте Бенара. С ростом числа Рэлея вертикальная составляющая скорости в центре ячейки из периодической (а) через перемежаемость (б) становится хаотической (в) (Berge et al., 1980).

(см. скан)

Рис. 56. Перемежаемость в нелинейном -осцилляторе: а — зависимость от соответствующая пятой итерации логистического отображения в точке касания (б); в — измеренная средняя длина ламинарной области пропорциональна (где ), что разумно согласуется с предсказанной зависимостью — зависимость (в единицах ) при (Jeffries, Perez, 1982).

Рис. 57. а — Осциллограмма интенсивности света (почти пропорциональной локальному горизонтальному градиенту температуры); б — отображение Пуанкаре построенное по данным осциллограммы (а) при Амплитуды на участках всплесков не показаны. Отметим, что «призрак» неподвижной точки (кружок) является чисто отталкивающим; в — зависимость числа N ламинарных участков с от Экспериментальные данные согласуются с кривой, полученной из (4.73) для е = 0,098 (Dubois et al., 1983).

рода показано на рис. 56 с помощью отображения Пуанкаре, скейлинга длин ламинарных областей и положения максимума при

Перемежаемость рода. Перемежаемость 3-го рода впервые наблюдалась в эксперименте с конвекцией Бенара в маленькой прямоугольной ячейке (Dubois, Rubio, Berge, 1983). В эксперименте измерялся горизонтальный градиент температуры по модуляции интенсивности светового пучка, проходящего через ячейку.

На рис. 57, а показана осциллограмма, характерная для перемежаемости 3-го рода. Перемежаемость появляется одновременно с удвоением периода; амплитуда субгармоники растет, а амплитуда основной частоты уменьшается. Когда амплитуда субгармоники

становится большой, сигнал теряет регулярность и возникают турбулентные всплески.

Если построить последовательности максимумов субгармоники (четные , отмечены крестиками) и основной моды (нечетные , квадратики), то получается отображение Пуанкаре, показанное на рис. 57, б. Его форма описывается выражением

где b — постоянная, — мера надкритичности по числу Рэлея соответствующему порогу возникновения перемежаемости. Уравнение (4.74) можно получить из отображения

где . Его собственное значение

пересекает единичную окружность в точке — 1, что в соответствии с табл. 4 указывает на перемежаемость 3-го рода.