Предисловие

Как показывает повседневный опыт, для многих физических систем малые изменения начальных условий приводят к малым изменениям результата. Так, например, путь автомобиля мало изменится, если руль лишь слегка поворачивать.

Но есть ситуации, для которых справедливо противоположное. Сторона, на которую упадет монета, поставленная на ребро, зависит от слабого прикосновения. Последовательность «орлов» и «решек» при подбрасывании монеты проявляет нерегулярное, или хаотическое, поведение во времени, так как крайне малые изменения начальных условий могут привести к совершенно различным результатам.

В последние годы стало ясно (и отчасти это определилось благодаря исследованиям нелинейных систем с применением быстродействующих компьютеров), что высокая чувствительность к начальным условиям, приводящая к хаотическому поведению во времени, никоим образом не исключение, — это типичное свойство многих систем. Такое поведение, например, обнаружено в периодически стимулируемых клетках сердца, в электронных цепях, при возникновении турбулентности в жидкостях и газах, в химических реакциях, в лазерах и т. д. С точки зрения математики во всех нелинейных динамических системах с числом степеней свободы больше 2 (особенно во многих биологических, метеорологических и экономических моделях) можно обнаружить хаос и, следовательно, на достаточно больших временах их поведение становится непредсказуемым.

«Детерминированный хаос» сегодня — весьма активная область исследований, в которой получено множество выдающихся результатов. Разработаны методы классификации различных типов хаоса и обнаружено, что при изменении внешнего управляющего параметра многие системы демонстрируют близкие переходы от порядка к хаосу. Это универсальное поведение напоминает обычные фазовые переходы второго рода, а введение ренормгрупповых и скейлинговых методов, известных в статистической механике, открывает новые перспективы в изучении детерминированного хаоса.

Задача этой книги — предложить замкнутое введение в эту область, изложенное с точки зрения физика. Книга возникла из цикла лекций, прочитанных мною в летние семестры 1982 и 1983 гг. во Франкфуртском университете; она не требует знаний, которыми не обладал бы аспирант-физик. Беглый взгляд на содержание показывает, что в книге на элементарном уровне вводятся такие новые понятия, как колмогоровская энтропия, странные аттракторы и т. д., и новые методы, такие, как методы функциональных ренормгрупп. С другой стороны, я надеюсь, что книга содержит достаточно материала для исследователей, которые хотят знать, например, как можно в эксперименте отличить детерминированный хаос от белого шума, или хотят научиться применять знания о равновесных фазовых переходах к исследованию (неравновесных) переходов от порядка к хаосу.

При подготовке этой книги мне очень помогли рукописи, препринты и дискуссионные замечания Г. Эйленбергера, К. Кера, X. Лешке, В. Сельке и М. Шмутца. Кроме того, П. Берже, М. Дюбуа, В. Лаутерборн, В. Мартиенссен, Г. Пфистер и их соавторы предоставили некоторые, частично не опубликованные, рисунки из своих экспериментальных работ. Сотрудники группы X. О. Пейтгена и П. X. Рихтера разрешили включить в эту книгу наиболее впечатляющие компьютерные изображения (см. разд. 5.7). Все предложения с благодарностью приняты. Кроме того, хочу поблагодарить В. Грейлиха, Д. Хакенбрахта, М. Хайзе, Л. Л. Хирста, Р. Либмана, И. Нейла и в особенности И. Прокачча за внимательный просмотр отдельных частей рукописи и полезные замечания. Я признателен также за разъяснения В. Эмери, П. Грассбергеру, Д. Гремпелю, С. Гроссману, С. Фишману и X. Горнеру.

С удовольствием благодарю Р. Хорнрейха за сердечное гостеприимство, оказанное мне во время пребывания в Институте Вейцмана, где при поддержке Фонда Минервы были написаны несколько глав этой книги.

И не в последнюю очередь я благодарю г-жу Боффо и г-жу Кнолле за превосходную помощь при подготовке иллюстраций и текста.

Франкфурт, октябрь 1984 г. Г. Г. Шустер