3. Производная Шварца
Бесконечная последовательность бифуркаций удвоения соответствует не всем унимодальным функциям (т. е. непрерывно дифференцируемым отображениям единичного интервала [0, 1] в себя, имеющим один максимум при 
и монотонным при 
и 
Кроме свойства унимодальности, необходимо, чтобы производная Шварца функции
была отрицательна на всем интервале [0, 1]. Это, например, справедливо для логистического отображения, так как 
Чтобы показать правдоподобность этого на первый взгляд необычного требования, отметим, что из условия 
следует 
для всех итераций 
. Это можно проверить прямым вычислением. Как следствие, обнаружено, что в неустойчивой неподвижной точке 
функции 
где
третья производная 
становится отрицательной при 
и вблизи 
, например, 
ведет себя, как показано на рис. 120, что может привести к бифуркации удвоения. На том же рисунке показано, что такая бифуркация невозможна при 
Важность производной Шварца была впервые отмечена в работе (Singer, 1978), где было показано, что унимодальное отображе
Рис. 120. Поведение 
вблизи точки 
при 
не может иметь более одного периодического аттрактора. Впоследствии Гуккенхеймер и Мизуревич доказали, что в этом случае все точки на отрезке [0, 1] (за исключением множества меры 0) притягиваются к этому аттрактору. Доказательства и ссылки можно найти в монографии (Collet, Eckmann, 1980).
