4.3. Перемежаемость и фликкер-шум

Из экспериментальных наблюдений известно, что для большого числа разнообразных физических систем (табл. 5) спектр мощности расходится на низких частотах по степенному закону Это явление называется фликкер-шумом. Несмотря на значительные усилия теоретиков, единой теории, охватывающей все расходимости типа обнаруживаемые в различных экспериментах, до сих пор нет.

Рис. 49. Пример фликкер-шума — ток биполярного транзистора (Wolf, 1978).

Таблица 5. Системы, в которых наблюдается фликкер-шум

Далее будет показано, что в классе отображений, порождающих сигналы с перемежаемостью, существует также и фликкер-шум; с помощью ренормгруппового подхода будет найдена связь показателя 5 с универсальными свойствами отображения. Хотя гипотеза перемежаемости для фликкер-шума, как будет далее показано, хорошо подтверждается в численных экспериментах для отображений, остается нерешенным вопрос, служит ли это также объяснением для перечисленных в табл. 5 экспериментов (вряд ли механизм перемежаемости, столь чувствительный к внешним возмущениям, способен объяснить сильный фликкер-шум резисторов). Но есть надежда обнаружить именно этот механизм в химических реакциях и в конвекции Бенара (Manneville, 1980; Dubois et al., 1983).

Вычислим спектр мощности для отображения, показанного на рис. 50,

при Другими словами, будем рассматривать только ту часть отображения, где «призрак» неподвижной точки является отталкивающим (рис. 42 и 57). Таким образом, рассматриваемый механизм фликкер-шума справедлив только для перемежаемости 3-го (и 2-го)

Рис. 50. Отображение в пределе при имеет вид и произвольно при (единственное требование — чтобы эта часть отображения случайным образом с вероятностью ) возвращала точку в область

рода (Ben-Mizrachi et al., 1984). Удобно выразить через корреляционную функцию

где

(Это следует из определения и свойств преобразования Фурье.) Чтобы оценить идеализируем сигнал так, как показано на рис. 51, б, т. е. предположим, что переменная практически равна 0 в ламинарных областях, и заменим короткие области всплесков линиями с единичным весом. Тогда коэффициенты пропорциональны условной вероятности появления сигнала в момент времени , если он наблюдался в начальный момент времени.

Далее, выразим через вероятность появления окна длиной которую ниже мы вычислим универсальным путем. Из рис. 52 видно, что

Рис. 51. а — Последовательность итераций показывающая ламинарный и хаотический режимы, соответствующие положению точки либо в интервале [0, с], либо в хаотической области; б — идеализированный сигнал.

Рис. 52. Вероятность появления сигнала в момент при условии его появления в нуле можно выразить через

или

если положить

Используем теперь соотношение (4.24) для вычисления вероятности ) появления ламинарной области длиной для отображения (4.48).

связана с вероятностью

так как из рис. 50 следует

функцию можно вычислить, используя оператор удвоения. В отсутствие значительны возмущений (которые будут обсуждаться позже) имеем

т. е. функция сходится к неподвижной точке. Отсюда

Здесь величины зависят только от параметра z, определяющего класс универсальности. Используя (4.57) в (4.55), получим для

что вместе с (4.54) дает необходимый универсальный результат для

Здесь предполагалось, что медленно меняется по т. е.

Перейдем к непрерывному времени, так как нас интересует только поведение в бесконечном пределе по времени, и преобразованием Лапласа разрешим (4.52), используя теорему о свертке

откуда получим в виде

Подстановка из (4.59) в (4.60) и (4.61) дает S -

(Результаты для взяты из работы (Ben-Mizrachi et al., 1984).)

Из рис. 53 видно, что этот результат разумно согласуется с вычисленными спектрами мощности для отображения

Теперь кратко обсудим действие возмущений. Низкочастотная расходимость спектра мощности появляется из-за того, что в (невозмущенном) отображении (рис. 50) с конечной вероятностью возникают произвольно длинные ламинарные области но в разд. 4.2 было также показано, что в присутствии значительных возмущений (например, сдвиг от точки касания) средняя длина окон конечна:

откуда получим ограничение

степенного закона для (рис. 54).

Рис. 53. Вычисленные спектры мощности для и решение уравнений (4.62) (Procaccia, Schuster, 1983).

Рис. 54. Спектр мощности для отображения На врезке показана зависимость от , предсказанная уравнением (4.62). (Procaccia, Schuster, 1983).