1.2. Ротатор, возбуждаемый периодическими толчками

Одна из простейших динамических систем, проявляющих хаотическое поведение во времени, — ротатор с затуханием, возбуждаемый периодическими толчками (рис. 4).

Рис. 4. Ротатор, возбуждаемый силой

Уравнение движения для этого ротатора следующее:

где точки обозначают производные по времени, Г — это постоянная затухания, Т — период между толчками; момент инерции принят за единицу. Если сделать подстановки то уравнение (1.9) можно представить как систему нелинейных автономных дифференциальных уравнений 1-го порядка:

    (1.10а)

Путем интегрирования эти уравнения можно свести к двумерному отображению для переменных При — общее решение (1.10б) есть

откуда

    (1.12а)

Далее, интегрируя (1.10а) с использованием (1.12а), получаем

    (1.12б)

Уравнения (1.12 а) и (1.126) — основные результаты этого раздела. Они сводят исходную систему трехмерных дифференциальных уравнений к двумерному дискретному отображению — результату стробоскопирования переменных. Далее мы перечислим несколько важных предельных случаев этого двумерного отображения, которые детально обсудим в последующих разделах.

Логистическое отображение. Это одномерное квадратичное отображение, определяемое как

где — внешний параметр, а принадлежит не окружности, а интервалу [0, 1]. Оно может быть получено из (1.126) в пределе сильного затухания , если так, что

Отображение хенона. Его можно рассматривать как двумерное обобщение логистического отображения (Нёпоп, 1976):

    (1.14 а)

где а и — внешние параметры.

Чтобы получить это отображение, перепишем (1.12 а), (1.126) в виде

    (1.15 а)

и разрешим (1.156) относительно :

Подставив в (1.15 а), при получим

Выбирая затем функцию и параметры в виде

из (1.17) получаем

что эквивалентно (1.14 а), (1.14 б). Наш вывод справедлив только

при хотя математически отображение определено для

Отображение Чирикова. Это просто отображение для незатухающего ротатора, возбуждаемого внешними толчками (Chirikov, 1979). Уравнения (1.12 а), (1.126) сводятся в этом пределе к

    (1.20 а)

где снова положено и введены условные обозначения

В следующих главах будет показано, что несмотря на очевидную простоту всех трех отображений, с их помощью можно получить чрезвычайно богатые, физически интересные структуры.