Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
7. Удвоение периода для консервативного отображения ХенонаРассмотрим сохраняющее площадь квадратичное отображение Хенона
которое описывает, например, периодически возбуждаемый ротатор при нулевом затухании и малых амплитудах (см. гл. 1). Мы хотим показать, что это отображение (представляющее целый класс двумерных отображений с квадратичным максимумом) также приводит к каскаду удвоений периода, но постоянные Фейгенбаума в этом случае больше, чем для одномерных отображений. Обозначая
и опуская черточки над символами, преобразуем
Вначале исследуем неподвижные точки Т и Неподвижные точки для Т:
Для второй итерации
неподвижные точки определяются из уравнения
Чтобы решить это уравнение, заметим, что неподвижные точки (П 7.6) можно свести к квадратичному уравнению с решениями
Устойчивость неподвижных точек (так же, как и в одномерном случае) определяется собственными значениями матрицы производных
равными
Так как отображение Т сохраняет площадь, то а) гиперболическая неподвижная точка: величины X действительные,
т. е. неподвижная точка неустойчива, так как все траектории, не заключенные в устойчивую трубку вдоль
Рис. 124. Траектории вблизи гиперболической (седповой) неподвижной точки с собственными векторами итераций:
б) эллиптическая неподвижная точка: величины X — комплексно-сопряженные решения квадратного уравнения
После преобразования координат можно представить L в виде простого поворота
и неподвижная точка устойчива, так как каждая точка, попав в ее окрестность, остается в ней и никогда не покидает ее под действием L (рис. 125). В соответствии с
Таким образом, устойчивость неподвижных точек Т (П 7.4):
Для
Рис. 125. Траектории вблизи эллиптической неподвижной точки. где функциональная матрица Объединяя Продемонстрируем теперь самоподобие, приводящее к последовательности удвоений периода, с помощью ренормализационной схемы Хеллемана. Схема начинается с выражения
Линеаризация этого уравнения вблизи, неподвижных точек периода два
дает
Если добавить
Затем вычислим
и объединим его с
Это выражение можно привести к виду
где
Соотношение Повторяя эти рассуждения, видим, что выражение
Бифуркационные точки сгущаются к
откуда
и константа Фейгенбаума определяется зависимостью
(числа в скобках показывают наилучшие численные значения для констант, определенные к настоящему времени). На рис. 126 показаны орбиты отображения Хенона
Рис. 126. Орбиты для отображения Хенона: а) при
|
1 |
Оглавление
|