7. Удвоение периода для консервативного отображения Хенона

Рассмотрим сохраняющее площадь квадратичное отображение Хенона

которое описывает, например, периодически возбуждаемый ротатор при нулевом затухании и малых амплитудах (см. гл. 1). Мы хотим показать, что это отображение (представляющее целый класс двумерных отображений с квадратичным максимумом) также приводит к каскаду удвоений периода, но постоянные Фейгенбаума в этом случае больше, чем для одномерных отображений.

Обозначая

и опуская черточки над символами, преобразуем к виду

Вначале исследуем неподвижные точки Т и и их устойчивость, затем введем схему ренормализации Хеллемана (Hellemann, 1980), проясняющую механизм удвоения и позволяющую просто оценить константы Фейгенбаума.

Неподвижные точки для Т:

Для второй итерации где

неподвижные точки определяются из уравнения

Чтобы решить это уравнение, заметим, что неподвижные точки для Т являются также неподвижными точками т. е.

(П 7.6) можно свести к квадратичному уравнению с решениями

Устойчивость неподвижных точек (так же, как и в одномерном случае) определяется собственными значениями матрицы производных

равными

Так как отображение Т сохраняет площадь, то Тогда остаются только два существенно различных вида неподвижных точек (параболические точки мы не рассматриваем, так как они нетипичны):

а) гиперболическая неподвижная точка: величины X действительные, следовательно, т. е. движение вдоль собственных векторов (рис. 124) описывается выражениями

т. е. неподвижная точка неустойчива, так как все траектории, не заключенные в устойчивую трубку вдоль , уходят от а для достижения неподвижной точки вдоль требуется бесконечное число

Рис. 124. Траектории вблизи гиперболической (седповой) неподвижной точки с собственными векторами

итераций:

б) эллиптическая неподвижная точка: величины X — комплексно-сопряженные решения квадратного уравнения

После преобразования координат можно представить L в виде простого поворота

и неподвижная точка устойчива, так как каждая точка, попав в ее окрестность, остается в ней и никогда не покидает ее под действием L (рис. 125).

В соответствии с собственные значения зависят только от следа линеаризованной матрицы преобразования, отсюда получим критерий устойчивости:

Таким образом, устойчивость неподвижных точек Т (П 7.4):

Для получим по аналогии с цепным правилом для одномерного случая

Рис. 125. Траектории вблизи эллиптической неподвижной точки.

где функциональная матрица обозначена как

Объединяя получаем, что — аттрактор периода 1, устойчивый при - — аттрактор периода 2, устойчивый при начинается каскад бифуркаций.

Продемонстрируем теперь самоподобие, приводящее к последовательности удвоений периода, с помощью ренормализационной схемы Хеллемана.

Схема начинается с выражения записанного в виде

Линеаризация этого уравнения вблизи, неподвижных точек периода два

дает

Если добавить получим для

Затем вычислим при

и объединим его с

Это выражение можно привести к виду изменив масштаб

где

Соотношение означает следующее: если двумерное отображение разложить с точностью до второго порядка вблизи цикла 2 и результат перемасштабировать, то получится прежнее отображение, т. е. устойчивостью при подразумевает (из-за подобия ) устойчивость т. е. цикла 2 при или

Повторяя эти рассуждения, видим, что выражение справедливо также для производных вблизи цикла 4 и т. д. Получается каскад бифуркаций с циклами периода устойчивыми при где

Бифуркационные точки сгущаются к

откуда

и константа Фейгенбаума определяется зависимостью

(числа в скобках показывают наилучшие численные значения для констант, определенные к настоящему времени).

На рис. 126 показаны орбиты отображения Хенона вблизи устойчивой неподвижной точки и после первой бифуркации.

Рис. 126. Орбиты для отображения Хенона: а) при б) при (Bountis, 1981).