3.2. Бифуркация удвоения и преобразование удвоения

В этом разделе мы покажем, что фейгенбаумовский переход образуется при помощи последовательных бифуркаций удвоения. Это позволит нам связать появление новых ветвей (рис. 19) с универсальным законом функциональной композиции. Мы введем преобразование удвоения Т, описывающее этот закон, и с его помощью установим, что константы а и 5 действительно являются универсальными. После взятия обратной величины и смены знака они окажутся равными соответственно значению собственной функции преобразования Т при и единственному существенному собственному значению линеаризованного оператора удвоения.

Рис. 21. Неподвижная точка при

Бифуркация удвоения. В качестве первого шага рассмотрим вопрос об устойчивости неподвижных точек отображений в зависимости от величины . На рис. 21 показано, что при имеется лишь одна устойчивая неподвижная точка которая при становится неустойчивой, уступая место точкех

При имеем т. е. согласно критерию (2.17), точка также становится неустойчивой. Что происходит после этого?

На рис. 22 показаны функции вместе со второй итерацией при Отметим четыре свойства (для удобства индекс опускаем):

а) имеет три экстремума, в которых эти экстремумы достигаются в

Рис. при образование двух новых устойчивых неподвижных (для ) точек под действием бифуркации удвоения (бифуркационная диаграмма похожа на вилы, см. с. 147).

б) Точка неподвижная для , является неподвижной для и всех высших итераций.

в) Если неподвижная точках становится неустойчивой по отношению она становится неустойчивой также и по отношению к и ко всем высшим итерациям, поскольку из неравенства следует, что

г) Точках, бывшая устойчивой неподвижной точкой для при становится неустойчивой, и под действием бифуркации удвоения рождаются две новые устойчивые неподвижные точки (рис. 22, б).

Пару устойчивых неподвижных точек отображения будем называть «аттрактором отображения периода 2». Этот термин оправдывается тем, что почти любая последовательность итераций на отрезке [0, 1], осциллируя, притягивается к точкам (рис. 23).

Легко видеть, отображает эти две новые неподвижные для точки друг в друга, т. е.

Действительно, из равенства следует

и, значит, также является неподвижной точкой для Но такой точкой может быть лишь равняется 0 или это противоречит равенству

Если теперь сделать больше некоторого значения то неподвижные точки станут неустойчивыми. Поскольку производные в точках совпадают:

эти точки становятся неустойчивыми одновременно.

Рис. 23. Итерации точки , когда имеет аттрактор периода 2 (схематично).

Рис. 24. Две бифуркации отображения приводят к появлению аттрактора периода 4.

На рис. 24 показано, что после возникновения этой неустойчивости четвертая итерация демонстрирует еще две бифуркации удвоения, которые приводят к появлению аттрактора периода 4, т. е. наблюдается удвоение периода. Эти два примера можно Обобщить следующим образом:

а) При имеется устойчивый -цикл который характеризуется свойствами

б) При у отображения

происходит бифуркация удвоения, которая приводит к тому, что все точки -цикла одновременно становятся неустойчивыми и при появляется новый устойчивый -цикл.

Сделанное нами заключение представляет собой первый шаг к пониманию универсальности — оно связывает механизм последовательных бифуркаций с общим законом функциональной композиции. Добавим в качестве предостережения, что не все отображения единичного интервала с квадратичным максимумом обнаруживают бесконечную последовательность бифуркаций удвоения, а только те, которые имеют отрицательную производную Шварца (см. приложение 3).

Суперциклы. Теперь рассмотрим так называемые суперциклы — они нам потребуются в дальнейшем. -суперцикл — это суперустойчивый -цикл, определяемый условиями

Отсюда следует, что в качестве своего элемента он всегда содержит точку так как эта точка — единственная, в которой обращается в 0. Из рис. 20 видно, что величины точно равны расстояниям между элементами циклах т. е.

Далее нам будет удобно проделать преобразование координат, переводящее так что (3.13) примет вид

Учитывая результаты предыдущего раздела, получаем, что из (3.3) следует

т. е. последовательность масштабированных итераций сходится:

Рис. 25 наводит на мысль, что соотношение (3.16) можно обобщить на весь интервал и что масштабно преобразованные функции сходятся к предельной функции ):

Уравнение (3.17) показывает, что ) определяется поведением лишь вблизи точки (см. также рис. 24), и поэтому должна быть универсальной функцией для всех имеющих квадратичный максимум.

Преобразование удвоения и . В качестве следующего шага по аналогии с уравнением (3.17) введем целое семейство функций:

Рис. 25. Масштабно преобразованные итерации сходятся к универсальной функции, а-г: суперустойчивые циклы при на б и г отмечены горизонтальные касательные; е — содержимое квадрата из в после масштабирования (штриховая линия) сравнивается с исходной функцией из а (сплошная линия).

Заметим, что все эти функции связаны между собой преобразованием удвоения Т:

поскольку

Если в (3.19) перейти к пределу при функция

окажется неподвижной точкой оператора удвоения Т:

Это уравнение определяет а универсальным образом:

Легко показать, что при любом также является решением уравнения неподвижной точки (3.22) с тем же самым значением а. Таким образом, теория не может ничего сказать о конкретном значении и мы зафиксируем полагая

Несмотря на то что в общей теории пока еще нет методов решения функционального уравнения (3.22), мы сможем получить единственное решение, если потребуем, чтобы ) была гладкой функцией с вполне определенным видом максимума в нуле (например, квадратичным). Если для в квадратичном случае воспользоваться самым коротким степенным разложением

уравнение неподвижной точки (3.22) примет вид

Отсюда получаем

    (3.27)

Эти значения лишь на 10% отличаются от следующих численных результатов Фейгенбаума:

что указывает на универсальность а.

Линеаризованное преобразование удвоения и . Что можно сказать о скейлинге по параметру ? Значения при которых -цикл становится суперустойчивым, определяются из того условия, что точках есть элемент суперцикла (см. (3.12)), т. е.

неподвижная точка для

(3.29) после сдвига переменной на 1/2 принимает вид (см. (3.13), (3.14)):

Это уравнение имеет бесконечное множество решений, поскольку ему удовлетворяют также суперциклы, появляющиеся в окнах хаотического режима. Чтобы выделить те значения в бифуркационной области, для которых выполняется

уравнение (3.30) обычно решают, начиная с и значения упорядочивают в соответствии с (3.31).

Числа показывают, как быстро происходит приближение к значению Чтобы доказать, что имеет место скейлинг

разложим в окрестности

где

Применим к этому уравнению оператор удвоения Т. Непосредственная линеаризация по дает

где — линейный оператор вида

Отметим, что определяется лишь по отношению к функции . Применяя Т несколько раз, получаем

Заметим, что, согласно уравнениям сходится к неподвижной точке:

и (3.36) при аппроксимации принимает вид

Это уравнение можно еще более упростить, если разложить по собственным функциям оператора :

и предположить, что лишь одно из собственных значений больше единицы, т. е.

Тогда в выражении (3.40) мы будем иметь вклад лишь от X,:

Поэтому (3.38) примет вид

где мы ввели обозначения

Собственное значение совпадает с константой Фейгенбаума 5. Действительно, из (3.43) следует

и в силу (3.30) выполняется условие

Таким образом, мы приходим к искомому результату (напомним, что

    (3.46)

Последнее уравнение можно обобщить, если в качестве параметра ввести мультипликатор (наклон производной):

и охарактеризовать при помощи соответствующей пары (и, ), как показано на рис. 26. Тогда из (3.44) получим

Рис. 26. Параметризация значений при помощи (схематично), т. е.

где выражение

снова представляет собой универсальную функцию от

В бифуркационных точках мультипликаторы имеют одно и то же значение (рис. 26). Поэтому, согласно (3.48), значения масштабируются при помощи той же самой константы 5, что и параметры суперустойчивых циклов (соответствующих , т. е. выполняется

    (3.49 а)

Поскольку при точка накопления — одна и та же для всех

    (3.496)

Численное значение 5 можно получить из универсального уравнения на собственное значение, комбинируя

Чтобы упростить вычисления, мы оставляем в степенном разложении только первый член , так что (3.50) превращается в алгебраическое выражение для :

    (3.51а)

Значение для функций с квадратичным максимумом (т. е. можно вычислить, если дважды продифференцировать

уравнение неподвижной точки (3.22)):

Отсюда

    (3.516)

Таким образом, (3.51 а) принимает вид

(для функций, имеющих максимум порядка , можно получить

Подставляя найденное нами ранее значение из (3.51) находим, что , т. е. по сравнению с численным результатом Фейгенбаума точность составляет примерно 1%. Это хороший результат, особенно если учесть грубость нашей аппроксимации.

Конечно, гораздо более сложным является доказательство предположения, что — действительно единственное собственное значение оператора большее 1. Это предположение было установлено в результате многочисленных вычислений Фейгенбаума и благодаря аналитическому рассмотрению Колле, Экмана и Лэнфорда (Collet, Eckmann, Lanford, 1980).

В заключение отметим два основных результата данного раздела:

1) Получено уравнение для неподвижной точки оператора удвоения:

из которого следует универсальность числа а.

2) Получено линеаризованное преобразование удвоения:

из которого следует универсальность числа 6. Оно позволяет определить, каким путем функции удаляются от — неподвижной точки оператора удвоения — вдоль ее неустойчивого многообразия.

В рассматриваемой ситуации универсальность возникает из-за наличия лишь одного существенного собственного значения

оператора удвоения, так что любые функции исключением ) в результате многократного применения оператора Т и ренормализации будут приближаться к неподвижной точке оператора удвоения, поскольку собственные значения, соответствующие меньше 1, т. е. несущественны.