Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
3.2. Бифуркация удвоения и преобразование удвоенияВ этом разделе мы покажем, что фейгенбаумовский переход образуется при помощи последовательных бифуркаций удвоения. Это позволит нам связать появление новых ветвей (рис. 19) с универсальным законом функциональной композиции. Мы введем преобразование удвоения Т, описывающее этот закон, и с его помощью установим, что константы а и 5 действительно являются универсальными. После взятия обратной величины и смены знака они окажутся равными соответственно значению собственной функции преобразования Т при
Рис. 21. Неподвижная точка Бифуркация удвоения. В качестве первого шага рассмотрим вопрос об устойчивости неподвижных точек отображений При На рис. 22 показаны функции а)
Рис. б) Точка в) Если неподвижная точках становится неустойчивой по отношению г) Точках, бывшая Пару устойчивых неподвижных точек Легко видеть,
Действительно, из равенства
и, значит, Если теперь сделать
эти точки становятся неустойчивыми одновременно.
Рис. 23. Итерации точки
Рис. 24. Две бифуркации отображения На рис. 24 показано, что после возникновения этой неустойчивости четвертая итерация а) При
б) При
происходит бифуркация удвоения, которая приводит к тому, что все точки Сделанное нами заключение представляет собой первый шаг к пониманию универсальности — оно связывает механизм последовательных бифуркаций с общим законом функциональной композиции. Добавим в качестве предостережения, что не все отображения единичного интервала с квадратичным максимумом обнаруживают бесконечную последовательность бифуркаций удвоения, а только те, которые имеют отрицательную производную Шварца (см. приложение 3). Суперциклы. Теперь рассмотрим так называемые суперциклы — они нам потребуются в дальнейшем.
Отсюда следует, что в качестве своего элемента он всегда содержит точку
Далее нам будет удобно проделать преобразование координат, переводящее
Учитывая результаты предыдущего раздела, получаем, что из (3.3) следует
т. е. последовательность масштабированных итераций
Рис. 25 наводит на мысль, что соотношение (3.16) можно обобщить на весь интервал и что масштабно преобразованные функции сходятся к предельной функции
Уравнение (3.17) показывает, что Преобразование удвоения и
Рис. 25. Масштабно преобразованные итерации Заметим, что все эти функции связаны между собой преобразованием удвоения Т:
поскольку
Если в (3.19) перейти к пределу при
окажется неподвижной точкой оператора удвоения Т:
Это уравнение определяет а универсальным образом:
Легко показать, что при любом
Несмотря на то что в общей теории пока еще нет методов решения функционального уравнения (3.22), мы сможем получить единственное решение, если потребуем, чтобы
уравнение неподвижной точки (3.22) примет вид
Отсюда получаем
Эти значения лишь на 10% отличаются от следующих численных результатов Фейгенбаума:
что указывает на универсальность а. Линеаризованное преобразование удвоения и
(3.29) после сдвига переменной
Это уравнение имеет бесконечное множество решений, поскольку ему удовлетворяют также суперциклы, появляющиеся в окнах хаотического режима. Чтобы выделить те значения
уравнение (3.30) обычно решают, начиная с Числа
разложим
где
Применим к этому уравнению оператор удвоения Т. Непосредственная линеаризация по
где
Отметим, что
Заметим, что, согласно уравнениям
и (3.36) при аппроксимации принимает вид
Это уравнение можно еще более упростить, если разложить
и предположить, что лишь одно из собственных значений
Тогда в выражении (3.40) мы будем иметь вклад лишь от X,:
Поэтому (3.38) примет вид
где мы ввели обозначения Собственное значение
и в силу (3.30) выполняется условие
Таким образом, мы приходим к искомому результату (напомним, что
Последнее уравнение можно обобщить, если в качестве параметра ввести мультипликатор (наклон производной):
и охарактеризовать
Рис. 26. Параметризация значений где выражение
снова представляет собой универсальную функцию от В бифуркационных точках
Поскольку
Численное значение 5 можно получить из универсального уравнения на собственное значение, комбинируя
Чтобы упростить вычисления, мы оставляем в степенном разложении
Значение уравнение неподвижной точки (3.22)):
Отсюда
Таким образом, (3.51 а) принимает вид
(для функций, имеющих максимум порядка Подставляя найденное нами ранее значение Конечно, гораздо более сложным является доказательство предположения, что В заключение отметим два основных результата данного раздела: 1) Получено уравнение для неподвижной точки оператора удвоения:
из которого следует универсальность числа а. 2) Получено линеаризованное преобразование удвоения:
из которого следует универсальность числа 6. Оно позволяет определить, каким путем функции удаляются от В рассматриваемой ситуации универсальность возникает из-за наличия лишь одного существенного собственного значения оператора удвоения, так что любые функции
|
1 |
Оглавление
|