Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
6.2. Полностью нерегулярное движение и эргодичностьВ предыдущем разделе было показано, что нерегулярное движение в гамильтоновых системах связано с наличием гиперболических неподвижных точек соответствующих отображений, сохраняющих фазовый объем. Поэтому, если нас интересуют модели с полностью нерегулярным движением, будет естественно обратиться к отображениям, в которых все неподвижные точки гиперболические. Отображение Арнольда. Примером такой системы может служить отображение Арнольда на торе, заданное в виде
Это отображение сохраняет площадь, поскольку его якобиан Т равен 1. Собственные значения равны
поэтому все неподвижные точки отображения На рис. 107 показано, как происходит преобразование в отображении Арнольда. Видно, что уже после одной итерации область «кот» оказывается «намотанной» на торе очень сложным образом. Быстрая расходимость близких точек и расслоение начальной области
Рис. 107. Преобразование области «кот» под действием отображения Т на торе. На рис. 107, 6 изображена развертка единичного тора (рис. 107, а), поэтому отображение Т представляет собой отображение Т без ограничения периодическими условиями (Arnold, Avez, 1968). обусловлены гиперболическим характером отображения. Оси Итерирование любой начальной точки
Рис. 108. Кривые W и W для отображения Арнольда. дает такой же результат, как и усреднение «по пространству» тора, что указывает на эргодичность отображения Арнольда. Однако отображение Арнольда обладает более сильным свойством — оно является перемешивающим. Смысл перемешивания заключается в том, что отображение настолько сильно искажает любой элемент площади, что со временем он как бы размазывается по всему тору. Точно так же капля чернил, объем которой соответствует элементу площади в отображении Арнольда, после взбалтывания в стакане воды перемешивается с ней однородно (рис. 109). Иерархия классического хаоса. В табл. 12 представлена иерархия свойств хаотического движения в порядке их усиления. Первый раздел табл. 12 содержит известную возвратную теорему Пуанкаре для гамильтоновых систем, которая просто является следствием того, что движение сохраняет площадь и ограничено конечной областью. Такое движение в некотором смысле аналогично хождению по заснеженной площадке конечных размеров. С течением времени площадка покроется следами прогуливающегося и в конце концов он начнет наступать на свои собственные следы.
Рис. 109. а — Поведение элемента объема под действием неперемешиваюших и перемешивающих отображений; б — перемешивание капли чернил в стакане воды (Arnold, Avez, 1968). Таблица 12. Иерархия классического хаоса (см. скан) Возвращаемость траектории, вообще говоря, не означает эргодичность, поскольку доступные для движения области могут быть несвязанными (например, могут быть не одна, а две площадки). Если фазовое пространство разделено, траектория ограничена областью, в которой лежат ее начальные координаты, и не покрывает всего фазового пространства. Переходя к перемешиванию, введем следующее формальное определение. Отображение
имеет место для каждой пары измеримых множеств А и В. Здесь через
Кроме того, предполагается, что мера доступного фазового пространства Г, в котором задано Если А и В соответствуют одной и той же точке, соотношение (6.37) сводится к следующему:
т. е. перемешивание означает, что автокорреляционная функция Хотя, конечно, эргодичность и подразумевает возвращаемость траектории, однако перемешивание отсюда еще не следует. Рассмотрим, например, отображение
которое на единичной окружности сдвигает точку Для иррациональных значений b это отображение эргодическое, поскольку выходя из какой-либо точки
Пример (6.40) указывает, во-первых, на эргодичность отображения без сильной зависимости от начальных условий, а во-вторых, — на эргодичность без перемешивания. Последнее утверждение следует также из того факта, что пересечение образов Типичные системы с перемешиванием — это отображение Арнольда (рис. 107) и преобразование пекаря (рис. 61, о). В обоих
Рис. 110. Преобразования на окружности с эргодичностью, но без перемешивания. случаях заданный элемент объема с течением времени расплывается, все более и более истончаясь и однородно покрывая все фазовое пространство. Однако скорость растяжения фазовых объемов не обязательно должна быть экспоненциально быстрой, как в этих двух системах, другими словами, система с перемешиванием не всегда является Из этой таблицы можно также увидеть, как различные свойства хаотического движения связаны со свойствами спектра собственных значений оператора Лиувилля. Обсудим вкратце эту фундаментальную связь, позволяющую ввести другие характеристики классического хаоса, не требующие рассмотрения отдельных траекторий. Оператор Лиувилля L определяется как оператор эволюции плотности
Здесь при определении L мы использовали в (6.43) уравнения Гамильтона. Далее полезно ввести собственные значения X оператора
где отсылая читателя, интересующегося доказательством в общем случае, к цитируемой литературе. Рассмотрим сначала систему из двух несвязанных гармонических осцилляторов, гамильтониан которой в переменных действие — угол имеет вид
где
с периодической по углам
где Движение системы из двух осцилляторов на торе эргодическое, если
имеет единственное решение. Заметим также, что уравнение (6.44) можно обобщить и на отображение
В качестве следующего примера рассмотрим отображение Арнольда (6.35), которое задано на торе таким образом, что
где
Рис. 111. Все точки на плоскости симметрична, из (6.52)-(6.53) можно легко получить
Из выражения (6.54) видно, что точка
откуда следует, что оператор Примеры трех классических
Рис. 112. Разбегание траекторий для трех хаотических систем: а — бильярд Синая; 6 — свободная частица в стадионе, в — свободная частица на поверхности отрицательной кривизны. взаимодействия столкновение не может считаться слабым возмущением. На рис. 112, а показано, что экспоненциальное разбегание траекторий возникает в результате столкновения между шарами. Важно подчеркнуть, что доказательство Синая справедливо даже для двух дисков, движущихся по тору, т. е. оно не требует перехода к термодинамическому пределу бесконечно большого числа частиц. Другой системой с малым числом степеней свободы, но также обладающей свойством эргодичности и перемешивания, является свободная частица в стадионе (рис. 112, б). Экспоненциальное разбегание траекторий здесь обусловлено специальной формой границы (Bunimovich, 1979). И наконец, отметим движение точечной массы по компактной геодезической поверхности всюду отрицательной гауссовой кривизны, которое также оказывается перемешивающим и эргодическим (Anosov, 1969). На рис. 112, в схематически изображено движение по седлообразной поверхности, чтобы хоть как-то представить, каким образом происходит расхождение траекторий вдоль геодезических поверхностей отрицательной кривизны (отметим, что на рисунке кривизна отрицательна лишь в одной точке Р).
|
1 |
Оглавление
|