6.2. Полностью нерегулярное движение и эргодичность

В предыдущем разделе было показано, что нерегулярное движение в гамильтоновых системах связано с наличием гиперболических неподвижных точек соответствующих отображений, сохраняющих фазовый объем. Поэтому, если нас интересуют модели с полностью нерегулярным движением, будет естественно обратиться к отображениям, в которых все неподвижные точки гиперболические.

Отображение Арнольда. Примером такой системы может служить отображение Арнольда на торе, заданное в виде

Это отображение сохраняет площадь, поскольку его якобиан Т равен 1. Собственные значения равны

поэтому все неподвижные точки отображения гиперболические. Любая рациональная точка на торе является неподвижной точкой отображения с каким-то конкретным (например, точка (0, 0) — неподвижная точка отображения Т, а точки (2/5, 1/5) и (3/5, 4/5) — неподвижные для и т. д.). Так как коэффициенты отображения Т — целые числа и образуют множество всех неподвижных точек.

На рис. 107 показано, как происходит преобразование в отображении Арнольда. Видно, что уже после одной итерации область «кот» оказывается «намотанной» на торе очень сложным образом. Быстрая расходимость близких точек и расслоение начальной области

Рис. 107. Преобразование области «кот» под действием отображения Т на торе.

На рис. 107, 6 изображена развертка единичного тора (рис. 107, а), поэтому отображение Т представляет собой отображение Т без ограничения периодическими условиями (Arnold, Avez, 1968).

обусловлены гиперболическим характером отображения. Оси по которым происходит растяжение и сжатие, вследствие иррационального отношения проекций плотно навиваются на тор, никогда не пересекая самих себя, но бесконечное число раз пересекая друг друга (рис. 108).

Итерирование любой начальной точки с иррациональным отношением образует множество точек, с течением времени плотно покрывающих тор, поэтому усреднение «по времени»

Рис. 108. Кривые W и W для отображения Арнольда.

дает такой же результат, как и усреднение «по пространству» тора, что указывает на эргодичность отображения Арнольда.

Однако отображение Арнольда обладает более сильным свойством — оно является перемешивающим. Смысл перемешивания заключается в том, что отображение настолько сильно искажает любой элемент площади, что со временем он как бы размазывается по всему тору. Точно так же капля чернил, объем которой соответствует элементу площади в отображении Арнольда, после взбалтывания в стакане воды перемешивается с ней однородно (рис. 109).

Иерархия классического хаоса. В табл. 12 представлена иерархия свойств хаотического движения в порядке их усиления.

Первый раздел табл. 12 содержит известную возвратную теорему Пуанкаре для гамильтоновых систем, которая просто является следствием того, что движение сохраняет площадь и ограничено конечной областью. Такое движение в некотором смысле аналогично хождению по заснеженной площадке конечных размеров. С течением времени площадка покроется следами прогуливающегося и в конце концов он начнет наступать на свои собственные следы.

Рис. 109. а — Поведение элемента объема под действием неперемешиваюших и перемешивающих отображений; б — перемешивание капли чернил в стакане воды (Arnold, Avez, 1968).

Таблица 12. Иерархия классического хаоса (см. скан)

Возвращаемость траектории, вообще говоря, не означает эргодичность, поскольку доступные для движения области могут быть несвязанными (например, могут быть не одна, а две площадки). Если фазовое пространство разделено, траектория ограничена областью, в которой лежат ее начальные координаты, и не покрывает всего фазового пространства.

Переходя к перемешиванию, введем следующее формальное определение. Отображение называется перемешивающим, если

имеет место для каждой пары измеримых множеств А и В. Здесь через обозначена инвариантная мера отображения и использовано сокращение

    (6.38)

Кроме того, предполагается, что мера доступного фазового пространства Г, в котором задано нормирована на 1, т. е.

Если А и В соответствуют одной и той же точке, соотношение (6.37) сводится к следующему:

т. е. перемешивание означает, что автокорреляционная функция убывает до нуля и «система релаксирует к равновесию». (Полное доказательство можно найти в книге (Arnold, Avez, 1968), где показано, что на самом деле система обладает перемешивающим свойством тогда и только тогда, когда для любых квадратично интегрируемых комплексных функций F и

Хотя, конечно, эргодичность и подразумевает возвращаемость траектории, однако перемешивание отсюда еще не следует. Рассмотрим, например, отображение

которое на единичной окружности сдвигает точку на расстояние b.

Для иррациональных значений b это отображение эргодическое, поскольку выходя из какой-либо точки траектория никогда не замкнется и с течением времени покроет равномерно всю окружность (в отличие от рационсных значений с целыми числами и q). Показатель Ляпунова для отображения (6.40) равен нулю:

Пример (6.40) указывает, во-первых, на эргодичность отображения без сильной зависимости от начальных условий, а во-вторых, — на эргодичность без перемешивания. Последнее утверждение следует также из того факта, что пересечение образов отрезка А с другим отрезком В при последовательных итерациях либо равно нулю, либо конечной величине и не имеет предельного значения, как это должно быть согласно (6.37) (рис. 110). Заметим, что в приведенном выше примере элементами «площади» служат линейные отрезки на окружности.

Типичные системы с перемешиванием — это отображение Арнольда (рис. 107) и преобразование пекаря (рис. 61, о). В обоих

Рис. 110. Преобразования на окружности с эргодичностью, но без перемешивания.

случаях заданный элемент объема с течением времени расплывается, все более и более истончаясь и однородно покрывая все фазовое пространство. Однако скорость растяжения фазовых объемов не обязательно должна быть экспоненциально быстрой, как в этих двух системах, другими словами, система с перемешиванием не всегда является -системой. Эти примеры могут рассматриваться как иллюстрация хаотических свойств, указанных в табл. 12.

Из этой таблицы можно также увидеть, как различные свойства хаотического движения связаны со свойствами спектра собственных значений оператора Лиувилля. Обсудим вкратце эту фундаментальную связь, позволяющую ввести другие характеристики классического хаоса, не требующие рассмотрения отдельных траекторий.

Оператор Лиувилля L определяется как оператор эволюции плотности в фазовом пространстве:

Здесь при определении L мы использовали в (6.43) уравнения Гамильтона. Далее полезно ввести собственные значения X оператора

где — комплексная, квадратично интегрируемая функция фазовых переменных. Согласно табл. 12, какому-либо свойству классического хаотического движения соответствует определенный вид спектра собственных значений X (стрелки указывают взаимосвязь утверждений). Поясним это соответствие на двух частных примерах,

отсылая читателя, интересующегося доказательством в общем случае, к цитируемой литературе.

Рассмотрим сначала систему из двух несвязанных гармонических осцилляторов, гамильтониан которой в переменных действие — угол имеет вид

где — частоты осцилляторов. Тогда из (6.43)-(6.44) получим выражения

с периодической по углам функцией . Эти уравнения имеют очевидные решения

где — целые числа.

Движение системы из двух осцилляторов на торе эргодическое, если иррациональному числу, т. е. соотношение выполняется только для нулевых значений , при этом собственное значение простое. Для неэргодического движения со — рациональное число, и значение является вырожденным. Такое соответствие между эргодичностью и невырожденностью собственного значения кажется довольно естественным потому, что лишь в этом случае уравнение для стационарного значения плотности

имеет единственное решение.

Заметим также, что уравнение (6.44) можно обобщить и на отображение :

В качестве следующего примера рассмотрим отображение Арнольда (6.35), которое задано на торе таким образом, что можно представить в виде

где — целые числа. Поскольку матрица преобразования

Рис. 111. Все точки на плоскости , за исключением центра, под действием матрицы Т движутся по гиперболам, поскольку собственные значения для Т равны

симметрична, из (6.52)-(6.53) можно легко получить

Из выражения (6.54) видно, что точка является единственной неподвижной точкой, т. е. снова оказывается простым собственным значением, соответствующим постоянной инвариантной плотности. Действие преобразования Т при других значениях m можно понять из рис. 111. Если теперь от m перейти к другим переменным , где а определяет гиперболу, по которой движется точка, положение точки на этой гиперболе, уравнение (6.54) примет вид

откуда следует, что оператор является оператором трансляции по переменной j. В этом случае спектр оператора L будет непрерывным (заметим, что значения j не ограничены) и бесконечнократно вырожденным (по а). Спектр, в котором каждое действительное собственное значение X вырождено с одной и той же кратностью и спектральный вес которого определяется величиной называется лебеговским спектром. Следовательно, А-системы, такие, например, как отображение Арнольда, вообще говоря, имеют бесконечный лебеговский спектр.

Примеры трех классических -систем. Приведем еще несколько физических примеров А-систем с эргодичностью и перемешиванием. Сначала рассмотрим известную модель газа сталкивающихся между собой твердых веществ, для которой перемешивание строго доказано Синаем (1970). Ясно, что для свободно движущихся шаров из-за бесконечного значения потенциала контактного

Рис. 112. Разбегание траекторий для трех хаотических систем: а — бильярд Синая; 6 — свободная частица в стадионе, в — свободная частица на поверхности отрицательной кривизны.

взаимодействия столкновение не может считаться слабым возмущением. На рис. 112, а показано, что экспоненциальное разбегание траекторий возникает в результате столкновения между шарами. Важно подчеркнуть, что доказательство Синая справедливо даже для двух дисков, движущихся по тору, т. е. оно не требует перехода к термодинамическому пределу бесконечно большого числа частиц.

Другой системой с малым числом степеней свободы, но также обладающей свойством эргодичности и перемешивания, является свободная частица в стадионе (рис. 112, б). Экспоненциальное разбегание траекторий здесь обусловлено специальной формой границы (Bunimovich, 1979).

И наконец, отметим движение точечной массы по компактной геодезической поверхности всюду отрицательной гауссовой кривизны, которое также оказывается перемешивающим и эргодическим (Anosov, 1969). На рис. 112, в схематически изображено движение по седлообразной поверхности, чтобы хоть как-то представить, каким образом происходит расхождение траекторий вдоль геодезических поверхностей отрицательной кривизны (отметим, что на рисунке кривизна отрицательна лишь в одной точке Р).