2. Анализ устойчивости, возникновения конвекции и турбулентности в модели Лоренца

Запишем уравнения Лоренца в краткой форме

и линеаризуем их вблизи неподвижных точек

определяемых условием

Первая неподвижная точка соответствует состоянию теплопроводности

проводности без движения жидкости, и ее матрица устойчивости

имеет собственные значения

Таким образом, решение устойчиво, т. е. все X отрицательны, при При начинается конвекция Бенара, так как и именно в этот момент «принимает эстафету» вторая неподвижная точка (соответствующая движущимся валам, изображенным на рис. 118). Матрица устойчивости для

а ее собственные значения — корни полинома

Видно, что при т. е. «конвективная» неподвижная точка находится на грани устойчивости, и, как показывает рис. 119, она устойчива при При два собственных значения становятся комплексными, т. е. появляются два предельных цикла, устойчивых до тех пор, пока действительная часть этих значений меньше 0. При действительные части обращаются

Рис. 119. Вид полинома в зависимости от параметра .

в 0, т. е. и из

При превышении предельный цикл становится неустойчивым (действительные части комплексных собственных значений положительны) и наступает хаос. Этот анализ согласуется с численным результатом, полученным Лоренцем, обнаружившим хаотическое поведение при и значениях параметра , превышающих