5.4. Странные аттракторы и возникновение турбулентности

Сейчас мы рассмотрим один из самых удивительных и сложных вопросов — как связано возникновение гидродинамической турбулентности во времени (однако не будем рассматривать ее пространственные неоднородности) с появлением странного аттрактора.

Чтобы понять, что сделано в этой области, введем сначала понятие бифуркации Хопфа (Hopf, 1942).

Бифуркация хопфа. Простой бифуркации Хопфа соответствует рождение предельного цикла из неподвижной точки. Например, рассмотрим следующие дифференциальные уравнения в полярных координатах:

    (5.50 а)

Их решение

    (5.51 б)

Рис. 71. Бифуркация Хопфа: от неподвижной точки к предельному циклу (б); поведение собственных значений X (в).

При траектория приближается к началу координат (неподвижной точке), а при она наматывается на предельный цикл радиуса как показано на рис. 71.

Если (5.50 а), (5.506) преобразовать в прямоугольные координаты

    (5.52 а)

и линеаризовать вблизи начала координат, получим

где — матрица:

с собственными значениями Это означает, что при бифуркации Хопфа пара комплексно-сопряженных собственных значений пересекает мнимую ось, как показано на рис. 71, в.

Модель перехода к турбулентности по ландау. Бифуркация Хопфа вводит в систему новую основную частоту. Еще в

Рис. 72. Переход к хаосу по модели Ландау. При увеличении параметра R в результате бифуркаций Хопфа появляется все больше и больше основных (т. е. несоизмеримых) частот.

1944 г. Ландау предложил путь перехода к турбулентности (во времени), согласно которому хаотическое состояние достигается бесконечной последовательностью неустойчивостей Хопфа, как показано на рис. 72. Этот путь приводит к зависимости сигнала от времени, которая становится все более сложной с появлением все большего числа частот, но спектр мощности всегда остается дискретным и приближается к непрерывному пределу в результате бесконечной цепочки последовательных бифуркаций Хопфа.

Модель перехода к турбулентности по рюэлю — такенсу — ньюхаузу. Как видно из рис. 73, описанный тип перехода в виде бесконечной цепочки в эксперименте Бенара не наблюдается. После появления двух основных частот спектр мощности становится сплошным.

Рис. 73. Спектр мощности конвективного потока в эксперименте Бенара (Gollub, Swinney, 1978). При увеличении относительного числа Рэлея наблюдаются следующие состояния; а — периодическое движение с одной частотой и ее гармониками; б — квазипериодическое движение с двумя несоизмеримыми частотами и их линейными комбинациями; в — непериодическое хаотическое движение с несколькими узкими линиями в спектре; г — хаос.

Рис. 74. Переход к хаосу по модели Рюэля — Такенса — Ньюхауза.

В действительности этот эксперимент был выполнен после того, как в 1971 г. Рюэль и Такенс предложили путь перехода к хаосу, значительно более короткий, чем предложенный Ландау (1944) (рис. 74). Они показали, что даже после двух бифуркаций Хопфа регулярное движение может стать сильно неустойчивым и перейти в хаотическое движение на странном аттракторе. При этом подразумевается, что хаотическое движение становится возможным только после двух бифуркаций Хопфа, когда траектория может выходить в дополнительные измерения, так как двухпериодическое движение соответствует траектории на торе (т. е. на двумерной трубке), на котором появление хаоса запрещается теоремой Пуанкаре — Бендикссона. Однако после двух бифуркаций Хопфа появление странного аттрактора не только возможно, но и практически неизбежно (Newhouse, Ruelle, Takens, 1978). Математическое доказательство существования странного аттрактора после двух бифуркаций слишком сложно, чтобы приводить его здесь. Вместо этого в следующем разделе мы обсудим такой переход к хаосу на примере простого кругового отображения, ренормгрупповое исследование которого дает количественные предсказания, часть которых уже проверена экспериментально. Но сначала опишем два эксперимента, в которых действительно наблюдается разрушение тора и переход к странному аттрактору.

Неустойчивость бенара. Недавно в эксперименте Бенара экспериментально наблюдалось появление странного аттрактора (Dubois, Berge, 1982). Измерялась последовательность значений температуры и восстанавливалось двумерное сечение Пуанкаре путем построения через интервалы времени где со определялась из независимых измерений скорости (это другой метод восстановления аттрактора по измерениям нескольких переменных, что обсуждалось в разд. 5.3). На рис. 75 показано, как сечение Пуанкаре, представляющее собой замкнутую петлю (что и следует ожидать для сечения тора), развивается в странный аттрактор согласно предсказанию (Newhouse, Ruelle, Takens, 1978).

(см. скан)

Рис. 75. Сечения Пуанкаре для эксперимента Бенара: а — схематическое изображение сечения тора; б - г эксперименты, показывающие переход от квазипериодического движения (6) к подструктурам, указывающим на разрушение тора (в) и затем к странному аттрактору (г) при увеличении числа Рэлея (Dubois, Berge, Groquette, 1982).

Неустойчивость тейлора. Неустойчивость Тейлора проявляется в слое жидкости, заключенной между внутренним цилиндром, вращающимся с угловой скоростью П, и неподвижным внешним цилиндром (рис. 76 и фото III на вклейке). При малых угловой момент, сообщаемый внутреннему цилиндру, передается наружу благодаря вязкости (а). При угловой скорости выше критической это состояние становится неустойчивым и момент передается кольцевыми

Рис. 76. Неустойчивость Тейлора и спектр мощности скорости (Swinney, Gollub, 1978).

конвективными вихрями (б). При еще больших 0 появляются периодические и многопериодические колебания этих вихрей, которые становятся хаотическими после двух бифуркаций Хопфа, т. е. это еще один пример перехода к хаосу по Рюэлю — Такенсу — Ньюхаузу.

На рис. 77 представлены результаты, полученные в эксперименте Тейлора путем восстановления фазового пространства по временной последовательности радиальной скорости при

а) сечение Пуанкаре показывает разрушение тора аналогично рис. 75;

б) А-энтропия (полученная из (5.15)) и наибольший показатель Ляпунова X (измеренный по разбеганию близких траекторий в пятимерном фазовом пространстве) становятся положительными при Это экспериментально доказывает существование странного аттрактора;

в) хаусдорфовы размерности D (полученная из (5.25)) медленно растут с увеличением Это показывает, что при переходе к хаосу в системе существуют лишь несколько значащих степеней свободы даже при значениях П на 30% выше критической величины

Рис. 77. Свойства странного аттрактора, наблюдаемого в эксперименте Тейлора: а — плоскость сечения Пуанкаре и разрушение тора при увеличении О; б — зависимость от А-энтропии и наибольшего ляпуновского показателя (2); в — зависимость от хаусдорфовой размерности О (5) и корреляционной размерности (Brandstater et al., 1983).