2. Кусочно-линейные отображения и детерминированный хаос

Рассмотренные в предыдущей главе нелинейные отображения Пуанкаре приводят все же к довольно сложному поведению системы (см. гл. 3). Поэтому в данной главе мы изучим некоторые очень простые одномерные кусочно-линейные отображения. Такие отображения с физическими системами непосредственно не связаны, но чрезвычайно полезны в качестве моделей; с их помощью в разд. 2.1 мы объясним механизм, который приводит к детерминированному хаосу. В разд. 2.2 введем три количественные характеристики хаотического поведения и полностью вычислим их для «треугольного» отображения. Наконец, в разд. 2.3 покажем, что итерации некоторых одномерных отображений могут иллюстрировать явление детерминированной диффузии.

2.1. Сдвиг Бернулли

Рассмотрим одномерное отображение

которое представлено на рис. 5.

При начальном значении это отображение порождает последовательность итераций Чтобы исследовать свойства этой последовательности, запишем двоичное представление

Рис. 5. Преобразование

где принимает значения 0 или 1. При мы имеем влечет Поэтому первую итерацию можно записать в виде

Другими словами, действие а на двоичное представление сводится к удалению первого знака после запятой и сдвигу оставшейся последовательности влево. Это называется сдвигом Бернулли.

Бернуллиевское свойство действия проявляется в следующем.

1. Чувствительная зависимость итераций а от начальных условий. Даже если две точки отличаются лишь в знаке под действием а это различие увеличивается и их итерации ) будут отличаться уже в первом знаке, поскольку где и т. д.

2. У последовательности итераций те же статистические свойства, что и у последовательных подбрасываний монеты. Чтобы убедиться в этом, припишем итерации о" (0) символ R или L в «зависимости от того, в правой или левой части единичного интервала содержится эта итерация. Если теперь мы имеем произвольную, как при подбрасывании монеты, последовательность всегда сможем найти точку для которой последовательность итераций эту последовательность образует. Такой результат следует из того, что соответствует R или L тогда и только тогда, когда или т. е. последовательность изоморфна двоичному разложению

Поэтому реализация некоторой последовательности при подбрасывании монеты эквивалентна выбору специального значения

3. Механизм появления эргодичности в детерминированных системах. Заметим сначала, что любую точку мы можем с произвольной степенью точности аппроксимировать конечной последовательностью двоичных знаков Теперь покажем, что образы «произвольного» иррационального числа подходят к на расстояние не более бесконечное число раз, т. е. система ведет себя эргодически.

Рис. 6. Возникновение эргодичности при бернуллиевском сдвиге чисел.

Это следует из того, что, во-первых, в своем двоичном представлении почти все иррациональные числа из [0, 1] (за исключением множества меры 0) бесконечное число раз включают в себя любую конечную последовательность знаков (см. литературу на с. 220) и, во-вторых, благодаря бернуллиевскому свойству сдвигает эти последовательности в начальное положение, как показано на рис. 6. Данное рассуждение позволяет подойти к самой сути зарождения хаотического движения в детерминированных системах — оно показывает, как при усилении неточности, связанной с заданием иррациональных чисел, возникает хаос.

Такой механизм, приводящий к детерминированному хаосу, достаточно универсален. Два его основных элемента — растяжение и складывание — являются главными свойствами любого хаотического отображения.

Рассмотрим для определенности начальную точку Поскольку растягивается вдвое под действием каждой итерации (рис. 7), то для значений таких, что следует использовать уже вторую ветвь функции После складывания точка вновь попадает в исходный единичный интервал, как показано на рис. 7.

В общем случае нелинейного отображения единичного интервала в себя имеет место комбинация растяжений и складываний (относительно , которая постоянно возвращает итерации начальной точки на единичный интервал и ведет к хаотическому движению.

Отметим кратко возможную физическую интерпретацию свойства растяжения нелинейных отображений. Начальные условия (т. е. ) физической системы могут быть определены лишь с

Рис. 7. Растяжение и складывание единичного интервала под действием

ограничейной точностью. Эта «произвольно» малая, но конечная неточность под действием нелинейного эволюционного уравнения экспоненциально усиливается Таким образом, рассматриваемое уравнение ведет себя как некий микроскоп, который делает заметными пределы нашей точности в физических измерениях. Можем ли мы в таком случае утверждать, что понятие континуума с его разделением точек на рациональные и иррациональные не имеет физического смысла и что все физические переменные должны быть квантованными? Заметим, что соотношение неопределенностей Гейзенберга, ограничивающее точность наблюдения в случае связанных переменных, было установлено в мысленном эксперименте, который заключался в том, чтобы при помощи оптического микроскопа измерить с произвольной точностью местоположение и импульс какого-либо электрона. Эти и другие близкие вопросы обсуждаются в интересной статье Дж. Форда в журнале “Physics Today” за апрель 1983 г.