Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
2. Кусочно-линейные отображения и детерминированный хаосРассмотренные в предыдущей главе нелинейные отображения Пуанкаре приводят все же к довольно сложному поведению системы (см. гл. 3). Поэтому в данной главе мы изучим некоторые очень простые одномерные кусочно-линейные отображения. Такие отображения с физическими системами непосредственно не связаны, но чрезвычайно полезны в качестве моделей; с их помощью в разд. 2.1 мы объясним механизм, который приводит к детерминированному хаосу. В разд. 2.2 введем три количественные характеристики хаотического поведения и полностью вычислим их для «треугольного» отображения. Наконец, в разд. 2.3 покажем, что итерации некоторых одномерных отображений могут иллюстрировать явление детерминированной диффузии. 2.1. Сдвиг БернуллиРассмотрим одномерное отображение
которое представлено на рис. 5. При начальном значении
Рис. 5. Преобразование где
Другими словами, действие а на двоичное представление Бернуллиевское свойство действия 1. Чувствительная зависимость итераций а от начальных условий. Даже если две точки 2. У последовательности итераций
Поэтому реализация некоторой последовательности при подбрасывании монеты эквивалентна выбору специального значения 3. Механизм появления эргодичности в детерминированных системах. Заметим сначала, что любую точку
Рис. 6. Возникновение эргодичности при бернуллиевском сдвиге чисел. Это следует из того, что, во-первых, в своем двоичном представлении почти все иррациональные числа из [0, 1] (за исключением множества меры 0) бесконечное число раз включают в себя любую конечную последовательность знаков (см. литературу на с. 220) и, во-вторых, благодаря бернуллиевскому свойству Такой механизм, приводящий к детерминированному хаосу, достаточно универсален. Два его основных элемента — растяжение и складывание — являются главными свойствами любого хаотического отображения. Рассмотрим для определенности начальную точку В общем случае нелинейного отображения единичного интервала в себя имеет место комбинация растяжений и складываний (относительно Отметим кратко возможную физическую интерпретацию свойства растяжения нелинейных отображений. Начальные условия (т. е.
Рис. 7. Растяжение и складывание единичного интервала под действием ограничейной точностью. Эта «произвольно» малая, но конечная неточность под действием нелинейного эволюционного уравнения экспоненциально усиливается
|
1 |
Оглавление
|