2.3. Детерминированная диффузия

В данном разделе мы покажем, что итерации некоторых одномерных периодических отображений демонстрируют диффузионное поведение. Эта диффузия указывает на наличие хаотического движения у соответствующего редуцированного отображения.

Обычно диффузию связывают с броуновским движением частиц жидкости. Уравнение диффузии появляется в случае большого трения (когда ускорением можно пренебречь); оно имеет вид

Здесь представляет собой случайные силы, возникающие при тепловом возбуждении молекул. Если предположить, как обычно, что коррелированы по Гауссу, т. е.

то из уравнений (2.38) и (2.39) получим

Это означает, что квадрат расстояния до начала координат линейно зависит от времени, если на частицу действуют случайные силы

Рис. 15. Кусочно-линейное периодическое отображение с диффузионной траекторией (Grossmann, 1982).

(в отличие от закона при постоянной силе к ). Без особого труда можно показать, что при выполняется и тогда, когда ускорением не пренебрегают (см., например, книгу Г. Хакена «Синергетика»).

Рассмотрим теперь кусочно-линейное периодическое отображение

где периодично по т. е.

их показано на рис. 15.

Траектория, как можно заметить, медленно удаляется от начала координат. Здесь, однако, диффузия возникает не за счет случайных сил, как в упомянутом выше броуновском движении, а за счет того, что траектория под влиянием хаотического движения внутри Орного или нескольких единичных отрезков «забывает свое прошлое». Чтобы обосновать это утверждение, мы точно вычислим для отображения (2.41).

Координату точки траектории представим в виде суммы номера отрезка и положения внутри отрезка (Grossmann, 1982), т. е.

Рис. 16. Разложение кусочно-линейного отображения.

Тогда отображение (2.41) принимает вид

что эквивалентно паре динамических уравнений

    (2.45а)

где означает целую часть числа . На рис. 16 показаны функция которая представляет собой величину скачка, описываемого целым числом, и функция дающая остаток для координаты

Учитывая (2.45а), расстояние до начала координат можно записать в виде

Отсюда следует такое выражение для усредненного квадрата расстояния;

где усреднение берется по всем начальным условиям причем для простоты предполагается, что В случае когда движение, задаваемое функцией , настолько хаотично, что корреляции между нет, т. е.

из (2.47) получим

Переход от (2.49) к (2.50) возможен лишь в том случае, когда ) имеет инвариантную плотность, удовлетворяющую уравнению

Из (2.50) следует, что растет линейно со временем, т. е.

где коэффициент диффузии равен

Из наших рассуждений должно быть ясно, что диффузия имеет место тогда, когда координаты в достаточной степени не коррелированны; в этом случае двойная сумма в (2.47) сводится к обыкновенной. (Для вполне коррелированного движения ) будет пропорционально Таким образом, для периодического отображения само наличие диффузии уже указывает на хаотичность движения, разрушающего корреляции внутри отрезков. В дальнейшем в гл. 7, где обсуждаются отображения, сохраняющие площадь, мы используем эту характеристику хаоса для некоторых обобщений.

В заключение введем простой масштабный закон для коэффициента диффузии, имеющий чисто геометрическую природу. Если интервалы 5, через которые траектории перескакивают из одного отрезка в другой, достаточно малы (так что изменением в этой области можно пренебречь, т. е. то уравнение (2.53) запишется в виде

Поскольку принимает значения либо 0, либо 1. На рис. 17 показано,

Рис. 17. Вариация 5 порядка когда ) имеет максимум порядка z (схематично).

что D имеет скейлинг:

когда отображение имеет максимум (и минимум) порядка