3. Универсальное поведение квадратичных отображений

В этой главе мы изучим логистическое отображение

показанное на рис. 18.

Как уже упоминалось в гл. 1, отображение (3.1) описывает, например, поведение быстро успокаивающегося ротатора, на который периодически действуют толчки. Данное логистическое отображение, представляющее собой, наверное, простейшее нелинейное разностное уравнение, появляется и во многих других ситуациях.

Оно было введено еще в 1845 г. П. Ф. Ферхюльстом для описания динамики популяции в замкнутой среде. Относительная (нормированная) численность особей 1-й год пропорциональна численности в предыдущий год, а также свободной части жизненного пространства, которая пропорциональна где параметр зависит от плодовитости, реальной площади для жизни и т. д.

Другой пример дает задача о банковских сбережениях при стабилизирующемся росте процента (Peitgen, Richter, 1984). Рассмотрим денежный вклад который растет в соответствии с процентом следующим образом: Желая воспрепятствовать беспредельному обогащению, какой-нибудь политик мог бы предложить, чтобы процент уменьшался пропорционально Тогда счет в банке изменялся бы в соответствии с законом который превращается в уравнение (3.1) при

Рис. 18. Квадратичное отображение на единичном интервале.

Казалось бы, можно ожидать, что благодаря механизму обратной связи интересующие нас величины (численность популяции или величина банковского счета) будут стремиться к некоторым средним значениям. Однако, как установили Гроссман и Томэ (Grossmann, Thomae, 1977), Фейгенбаум (Feigenbaum, 1978), Колле и Трессер (Collet, Tresser, 1978) и многие др. (см. работу (May, 1976), где имеются еще более ранние ссылки), итерации отображения (3.1) при варьировании внешнего параметра демонстрируют довольно сложное поведение, которое становится хаотическим при больших (рис. 19).

Поэтому можно понять тот вывод, который делает Мэй (May, 1976) в конце своей статьи в журнале Nature: «Вероятно, для всех нас было бы гораздо лучше, если бы не только при обучении или в научной работе, но и в повседневной политической и экономической жизни как можно большее число людей поняло, что простые динамические системы не обязательно приводят к простому поведению».

Следует отметить, что хаотическое поведение не связано со своеобразием логистического отображения. Фейгенбаум показал, что при некоторых ограничениях, которые будут обсуждаться ниже, переход к хаосу, найденный для логистического отображения, встречается во всех разностных уравнениях первого порядка в которых после соответствующего изменения масштаба имеет единственный максимум в интервале Фейгенбаум установил также, что качественное поведение при переходе к хаосу описывается универсальными константами (константами Фейгенбаума а и ), величина которых зависит лишь от характера максимума. (Имеется в виду, что, например, квадратичному максимуму соответствуют функции, удовлетворяющие условиям и т.п.). Поскольку условия появления фейгенбаумовского перехода довольно естественны (практически для системы достаточно, чтобы ее отображение Пуанкаре было близко к одномерному с единственным максимумом), не удивительно, что такой переход наблюдается во многих нелинейных системах.

В следующих разделах данной главы подробно рассмотрены свойства фейгенбаумовского перехода. Начнем с краткого изложения, которое должно помочь читателю ориентироваться в математических деталях.

В разд. 3.1 дан обзор численных результатов по итерациям логического отображения. Показывается, что число периодических точек отображения к которым итерации сходятся, при определенных

(см. скан)

Рис. 19. а — Итерации логистического отображения; б — показатель Ляпунова (частное сообщение W. Desnizza).

увеличивающихся значениях параметра удваивается. При число периодических точек становится бесконечным, а за пределами этого (конечного) значения поведение итераций для большинства хаотично.

В разд. 3.2 мы исследуем бифуркацию, которая лежит в основе Механизма последовательного удвоения периодических точек. Показано,

что удвоение можно обнаружить, наблюдая за образом четных итераций исходного отображения Это позволит нам установить, что образование новых точек связано с законом функциональной композиции. Исходя из этого, мы вводим преобразование удвоения Т, описывающее функциональную композицию с одновременным изменением масштаба вдоль осей и и показываем, что постоянную Фейгенбаума а, которая определяет изменение расстояния между итерациями, можно вычислить по неподвижной (функциональной) точке преобразования Далее мы рассмотрим другую константу Фейгенбаума 5, характеризующую масштабное преобразование величины Мы увидим, что она равна собственному значению линеаризованного преобразования удвоения.

После описания метода вычисления универсальных итерационных характеристик в разд. 3.3 будут рассмотрены некоторые приложения. Вначале мы определим относительное расположение итераций и покажем, что в точке накопления итерации образуют самоподобное точечное множество дробной размерности. Затем к распределению итераций применим преобразование Фурье и получим экспериментально измеримый и поэтому играющий важную роль спектр мощности.

Благодаря наличию дополнительных степеней свободы в любой реальной нелинейной диссипативной системе имеются еще и неучтенные силы, которые можно рассматривать как флуктуации. Эти силы, если их учесть в разностных уравнениях, стремятся размыть тонкую структуру распределения итераций. Мы изучим влияние данного эффекта на спектр мощности и покажем, что скорость, с которой подавляются высшие субгармоники, степенным образом зависят от уровня шума.

Пока мы касались поведения итераций лишь вблизи точки перехода к хаосу. Далее мы рассмотрим хаотическую область и покажем, что при логистическое отображение топологически сопряжено с ранее изученным треугольным отображением Отсюда следует, что оба этих отображения можно непрерывным образом преобразовать одно в другое и что итерации имеют непрерывную инвариантную плотность, которую можно вычислить по инвариантной плотности отображения

Наконец, в разд. 3.4 мы поясним аналогию, возникающую между фейгенбаумовским переходом к хаосу и обыкновенными равновесными фазовыми переходами 2-го рода. В конце главы обсуждены экспериментальные аспекты фейгенбаумовского перехода.