Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
3. Универсальное поведение квадратичных отображенийВ этой главе мы изучим логистическое отображение
показанное на рис. 18. Как уже упоминалось в гл. 1, отображение (3.1) описывает, например, поведение быстро успокаивающегося ротатора, на который периодически действуют толчки. Данное логистическое отображение, представляющее собой, наверное, простейшее нелинейное разностное уравнение, появляется и во многих других ситуациях. Оно было введено еще в 1845 г. П. Ф. Ферхюльстом для описания динамики популяции в замкнутой среде. Относительная (нормированная) численность особей Другой пример дает задача о банковских сбережениях при стабилизирующемся росте процента (Peitgen, Richter, 1984). Рассмотрим денежный вклад
Рис. 18. Квадратичное отображение Казалось бы, можно ожидать, что благодаря механизму обратной связи интересующие нас величины (численность популяции или величина банковского счета) будут стремиться к некоторым средним значениям. Однако, как установили Гроссман и Томэ (Grossmann, Thomae, 1977), Фейгенбаум (Feigenbaum, 1978), Колле и Трессер (Collet, Tresser, 1978) и многие др. (см. работу (May, 1976), где имеются еще более ранние ссылки), итерации Поэтому можно понять тот вывод, который делает Мэй (May, 1976) в конце своей статьи в журнале Nature: «Вероятно, для всех нас было бы гораздо лучше, если бы не только при обучении или в научной работе, но и в повседневной политической и экономической жизни как можно большее число людей поняло, что простые динамические системы не обязательно приводят к простому поведению». Следует отметить, что хаотическое поведение не связано со своеобразием логистического отображения. Фейгенбаум показал, что при некоторых ограничениях, которые будут обсуждаться ниже, переход к хаосу, найденный для логистического отображения, встречается во всех разностных уравнениях первого порядка В следующих разделах данной главы подробно рассмотрены свойства фейгенбаумовского перехода. Начнем с краткого изложения, которое должно помочь читателю ориентироваться в математических деталях. В разд. 3.1 дан обзор численных результатов по итерациям логического отображения. Показывается, что число периодических точек отображения (см. скан) Рис. 19. а — Итерации логистического отображения; б — показатель Ляпунова увеличивающихся значениях параметра В разд. 3.2 мы исследуем бифуркацию, которая лежит в основе Механизма последовательного удвоения периодических точек. Показано, что удвоение можно обнаружить, наблюдая за образом четных итераций После описания метода вычисления универсальных итерационных характеристик в разд. 3.3 будут рассмотрены некоторые приложения. Вначале мы определим относительное расположение итераций и покажем, что в точке накопления Благодаря наличию дополнительных степеней свободы в любой реальной нелинейной диссипативной системе имеются еще и неучтенные силы, которые можно рассматривать как флуктуации. Эти силы, если их учесть в разностных уравнениях, стремятся размыть тонкую структуру распределения итераций. Мы изучим влияние данного эффекта на спектр мощности и покажем, что скорость, с которой подавляются высшие субгармоники, степенным образом зависят от уровня шума. Пока мы касались поведения итераций лишь вблизи точки перехода к хаосу. Далее мы рассмотрим хаотическую область Наконец, в разд. 3.4 мы поясним аналогию, возникающую между фейгенбаумовским переходом к хаосу и обыкновенными равновесными фазовыми переходами 2-го рода. В конце главы обсуждены экспериментальные аспекты фейгенбаумовского перехода.
|
1 |
Оглавление
|