4. Переход к хаосу через перемежаемость

Под перемежаемостью мы будем понимать такой вид сигнала, в котором случайным образом чередуются длинные регулярные (ламинарные) фазы (так называемые окна) и относительно короткие нерегулярные всплески. Такие сигналы обнаруживаются во многих экспериментах. Замечено также, что число хаотических всплесков нарастает при увеличении внешнего параметра, а это означает, что перемежаемость представляет собой непрерывный переход от регулярного движения к хаотическому.

В раэд. 4.1 рассмотрены механизмы этого явления, предложенные Помо и Манневилем (Pomeau, Manneville, 1979) и обсуждается перемежаемость 1-го рода как следствие обратной касательной бифуркации. Затем (разд. 4.2) демонстрируется, что переход к хаосу через перемежаемость действительно обладает универсальными свойствами и представляет собой один из редких примеров точного решения линеаризованных ренормгрупповых уравнений. Эти результаты использованы в разд. 4.3 для того, чтобы показать, что перемежаемость есть универсальное объяснение происхождения фликкер-шума в нелинейных системах. В последнем разделе подводятся итоги типичных свойств перехода через перемежаемость и обсуждаются некоторые примеры.

4.1. Механизмы перемежаемости

Переход к хаосу через перемежаемость был впервые исследован в работе Помо и Манневиля (Pomeau, Manneville, 1979), которые решали численно дифференциальные уравнения модели Лоренца

Для - компоненты было обнаружено поведение, показанное на рис. 40.

Рис. 40. Развитие во времени одной из составляющих в модели Лоренца (Pomeau. Manneville, 1980).

При реализация представляет собой устойчивое периодическое движение. При превышении порога колебания прерываются хаотическими всплесками, которые с ростом становятся все более частыми, пока движение полностью не хаотизируется.

Помо и Манневиль так объяснили это поведение:

Устойчивым колебаниям при соответствует устойчивая неподвижная точка на отображении Пуанкаре (см. также рис. 3). При эта точка становится неустойчивой. Так как это может произойти лишь тремя путями (во всех трех случаях модули собственных значений линеаризованного отображения Пуанкаре больше единицы), будем различать три рода перемежаемости, представленные в табл. 4 (см. также форму сигнала в табл. 6).

Перемежаемость рода. На рис. 41 представлено отображение Пуанкаре для модели Лоренца, где построены значения при которых пересекает плоскость Если сравнить этот

Рис. 41. Отображение Пуанкаре для модели Лоренца при значении , не много превышающем (Pomeau, Manneville, 1980).

Таблица 4. Три типа перемежаемости

рисунок с табл. 4, видно, что модель Лоренца демонстрирует перемежаемость 1-го рода.

Для этого перехода характерна обратная касательная бифуркация, при которой две неподвижные точки (устойчивая и неустойчивая) сливаются, как показано на рис. 42. При отображение не имеет устойчивых неподвижных точек. Однако существует некоторая «память» об исчезнувшей неподвижной точке, так как движение сильно замедляется вблизи и требуется много итераций для того, чтобы пройти через узкий канал между кривой отображения и биссектрисой. Это приводит к появлению длинных ламинарных областей при небольшом превышении над (рис. 40). После выхода траектории из канала начинается хаотический всплеск, который завершится, когда траектория попадет вновь в окрестность и начнется новая регулярная фаза. Теория Помо и Манневиля объясняет лишь ламинарные фазы и ничего не говорит о происхождении хаоса.

Другой пример перемежаемости 1-го рода — логистическое

Рис. 42. Механизм перемежаемости 1-го рода: а — отображение Пуанкаре при отображение Пуанкаре при и движение траектории (отметим, что «призрак» неподвижной точки притягивает траектории слева и отталкивает справа); в — обратная касательная бифуркация.

отображение

Численный счет показывает, что при это отображение порождает цикл периода три с последующими бифуркациями, т. е. в хаотическом режиме существует окно, как условно показано на рис. 43. Последовательные итерации при значениях , больших и меньших представлены на рис. 44. При , несколько большем существует регулярный цикл периода 3, а ниже ламинарные области прерываются хаосом.

Рис. 43. «Окно» периода 3 в области хаотического режима.

Рис. 44. Последовательность итераций логистического отображения, начинающаяся с ; а — в области устойчивого цикла периода 3 при ; б — в области перемежаемости при

Это удивительное поведение объясняет рис. 45, на котором показана третья итерация при . В этом случае существуют три неподвижные точки, которые при становятся неустойчивыми, что приводит к перемежаемости 1-го рода. Необходимо отметить, что обратная касательная бифуркация (в противоположность бифуркации удвоения, в которой число неподвижных точек удваивается) представляет единственный механизм, при котором в логистическом отображении может появиться нечетное число неподвижных точек.

Длина ламинарной области. Вычислим теперь среднюю Длину ламинарной области для логистического отображения функцию расстояния от критической точки Как станет ясно из дальнейшего, найденная зависимость не ограничивается одним особым типом отображения, а справедлива для любого отображения Пуанкаре, приводящего к перемежаемости 1-го рода.

Рис. 45. Трехскладчатое итерированное отображение при

Разлагая в ряд вблизи точек определяемых выражениями

получаем

где

(Такое уравнение справедливо для всех трех неподвижных точек ; среднюю мы выбираем для удобства, так как результат не зависит от констант.)

Обозначив выражение для отображения

преобразуем в окрестности к виду (см. (4.4))

(Тот же результат получается, если отображение Пуанкаре (рис. 41) разлагать в ряд вблизи точки касания.) В этой системе ламинарные области определяются требованием, чтобы последующие итерации изменялись очень слабо, т. е. их расстояние до должно быть меньше порогового значения с:

в этой области разностное уравнение (4.7) можно просто заменить дифференциальным

описывает число итераций в ламинарной области), что при интегрировании дает

Чтобы найти среднюю длину ламинарной области предположим, что после того как точка покинула ламинарную область при и появились несколько нерегулярных всплесков, она возвращается в область при с вероятностью симметричной относительно — -увх). Это дает

    (4.11)

При

Эта характерная зависимость была впервые найдена и проверена численно для логистического отображения (рис. 46) в работе (Pomeau, Manneville, 1980).

Рис. 46. а — Последовательность третьих итераций при в которой наблюдаются области ламинарного поведения, прерываемые перемещающимися нерегулярными областями; б — точками показана зависимость для сплошной линией — асимптотический предел