Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
4. Переход к хаосу через перемежаемостьПод перемежаемостью мы будем понимать такой вид сигнала, в котором случайным образом чередуются длинные регулярные (ламинарные) фазы (так называемые окна) и относительно короткие нерегулярные всплески. Такие сигналы обнаруживаются во многих экспериментах. Замечено также, что число хаотических всплесков нарастает при увеличении внешнего параметра, а это означает, что перемежаемость представляет собой непрерывный переход от регулярного движения к хаотическому. В раэд. 4.1 рассмотрены механизмы этого явления, предложенные Помо и Манневилем (Pomeau, Manneville, 1979) и обсуждается перемежаемость 1-го рода как следствие обратной касательной бифуркации. Затем (разд. 4.2) демонстрируется, что переход к хаосу через перемежаемость действительно обладает универсальными свойствами и представляет собой один из редких примеров точного решения линеаризованных ренормгрупповых уравнений. Эти результаты использованы в разд. 4.3 для того, чтобы показать, что перемежаемость есть универсальное объяснение происхождения фликкер-шума в нелинейных системах. В последнем разделе подводятся итоги типичных свойств перехода через перемежаемость и обсуждаются некоторые примеры. 4.1. Механизмы перемежаемостиПереход к хаосу через перемежаемость был впервые исследован в работе Помо и Манневиля (Pomeau, Manneville, 1979), которые решали численно дифференциальные уравнения модели Лоренца
Для
Рис. 40. Развитие во времени одной из составляющих в модели Лоренца (Pomeau. Manneville, 1980). При Помо и Манневиль так объяснили это поведение: Устойчивым колебаниям при Перемежаемость
Рис. 41. Отображение Пуанкаре для модели Лоренца при значении Таблица 4. Три типа перемежаемости
рисунок с табл. 4, видно, что модель Лоренца демонстрирует перемежаемость 1-го рода. Для этого перехода характерна обратная касательная бифуркация, при которой две неподвижные точки (устойчивая и неустойчивая) сливаются, как показано на рис. 42. При Другой пример перемежаемости 1-го рода — логистическое
Рис. 42. Механизм перемежаемости 1-го рода: а — отображение Пуанкаре при отображение
Численный счет показывает, что при
Рис. 43. «Окно» периода 3 в области хаотического режима.
Рис. 44. Последовательность итераций логистического отображения, начинающаяся с Это удивительное поведение объясняет рис. 45, на котором показана третья итерация Длина ламинарной области. Вычислим теперь среднюю Длину
Рис. 45. Трехскладчатое итерированное отображение Разлагая
получаем
где
(Такое уравнение справедливо для всех трех неподвижных точек Обозначив
преобразуем в окрестности
(Тот же результат получается, если отображение Пуанкаре (рис. 41) разлагать в ряд вблизи точки касания.) В этой системе ламинарные области определяются требованием, чтобы последующие итерации изменялись очень слабо, т. е. их расстояние до
в этой области разностное уравнение (4.7) можно просто заменить дифференциальным
Чтобы найти среднюю длину ламинарной области
При
Эта характерная зависимость была впервые найдена и проверена численно для логистического отображения (рис. 46) в работе (Pomeau, Manneville, 1980).
Рис. 46. а — Последовательность третьих итераций
|
1 |
Оглавление
|