7. Хаос в квантовых системах?

Существование хаотического движения в классических консервативных системах естественно приводит к вопросу о том, каким образом нерегулярность движения проявляется в соответствующих квантовых системах. Аналогичные вопросы возникают в задачах физики плазмы, оптики или акустики, где нас также могут интересовать свойства решений волновых уравнений, которые в классическом пределе (ВКБ-приближение, геометрическая оптика) описывают стохастические траектории.

Вопрос о поведении квантовых систем, неинтегрируемых в классическом пределе, обсуждался еще на заре квантовой механики (Einstein, 1917), поскольку он был связан с проблемой квантования систем с непериодическим движением (напомним, что в то время квантование периодических систем проводилось по правилу Бора — Зоммерфельда где — постоянная Планка). Появление волновой механики и ее дальнейшее развитие позволяют нам свести вопрос о временной эволюции любой квантовой системы к решению нестационарного уравнения Шредингера:

где Н — оператор гамильтониана системы, Ф — его волновая функция и

Чтобы объяснить трудности, возникающие при переходе от классических хаотических систем к их квантовому аналогу, напомним основные различия между классическими и квантовыми системами.

1. По сравнению с классической механикой, в которой переход к статистическому описанию необходим лишь в случае хаотического поведения системы, в квантовой механике по существу возможно только статистическое описание. Хотя уравнение Шредингера линейно по Ф и его решение в некоторых случаях можно легко получить в виде регулярной зависимости -функций от времени (например, для гармонического осциллятора), несмотря на отсутствие

временного хаоса, это еще не означает, что поведение системы полностью детерминировано. Действительно, величина дает лишь вероятность найти электрон в пространственно-временной точке

2. Согласно принципу неопределенности Гейзенберга

в квантовой механике отсутствует понятие траектории движения (измерение координаты q с точностью приводит к возмущению импульсар на величину в соответствии с . Поэтому описание хаотического движения на основе экспоненциально быстрого разбегания близких траекторий в квантовой механике становится невозможным.

3. Из принципа неопределенности (7.2) также следует, что точки в -мерном фазовом пространстве, находящиеся внутри объема размером неразличимы, т. е. фазовое пространство дискретно. Это означает, что если области в фазовом пространстве с классическим хаотическим движением имеют размер, меньший чем то в квантовой механике такие области «не видны» и можно ожидать, что поведение соответствующей квантовой системы будет регулярным. Таким образом, отличие от нуля постоянной Планка ведет к подавлению хаоса. С другой стороны, это затрудняет предельный переход (для тех систем, которые в классическом пределе обнаруживают хаотическое поведение), поскольку при уменьшении h в фазовом пространстве появляются все более и более мелкие структуры.

Далее мы будем различать автономные системы с не зависящими от времени гамильтонианами и неавтономные системы. Примером неавтономной системы может служить квантовый аналог ротатора с периодическими толчками.

Для автономных систем с помощью замены можно перейти от (7.1) к линейной задаче нахождения собственных значений энергии Е:

Если уровни дискретны, волновая функция Ф ведет себя во времени регулярным образом, что говорит об отсутствии хаоса. Однако остаются принципиальные вопросы, например о том, при каких условиях это имеет место и имеется ли какое-либо различие между энергетическими спектрами квантовых систем с регулярным классическим поведением и систем, которые в классическом пределе являются хаотическими?

Вопрос о поведении неавтономных систем с зависящим от времени гамильтонианом может быть связан, например, с задачей о распределении энергии (по уровням) молекулы, находящейся в поле лазерного луча. Такие вопросы имеют практическое значение в лазерной фотохимии.

Более конкретно, нас интересуют ответы на следующие вопросы: существует ли квантовый хаос? в каких терминах его можно описать? имеется ли в квантовой механике какая-либо аналогия той иерархии классического хаоса, которая отражена в табл. 12? что означает теорема КАМ для квантового движения? В настоящее время вопросов больше, чем ответов.

Чтобы по крайней мере понять суть этих вопросов, мы рассмотрим несколько модельных систем.

В разд. 7.1 исследуется квантовый аналог отображения Арнольда, в котором классическое движение полностью хаотическое, и показывается, что в такой системе нет хаоса. Это связано с конечным значением постоянной Планка и с двойными периодическими условиями, приводящими к дискретности собственных значений оператора эволюции, вследствие чего движение будет квазиперио-дическим.

В следующем разделе приводятся численные результаты (McDonald, Kaufman, 1979), из которых видно, что энергетический спектр свободной квантовой частицы в стадионе (с классическим хаотическим движением) существенным образом отличается от спектра свободной (квантовой) частицы в круге (классическое движение регулярно).

И наконец, в последнем разделе, преобразуя исходную задачу к задаче о локализации электрона в некотором потенциале, мы покажем, что в системе квантового ротатора с толчками диффузия отсутствует, в то время как в соответствующей классической системе (выше некоторого порога) детерминированная диффузия имеет место.