Приложения

1. Вывод модели Лоренца

Здесь приведен беглый вывод модели Лоренца, ориентированный на то, чтобы читатель почувствовал сделанные приближения. Более подробную информацию читатель может найти в оригинальных статьях (Saltzman, 1981; Lorenz, 1963) и в монографии (Chandrasekhar, 1961).

Рассмотрим эксперимент Рэлея — Бенара, показанный на рис. 118. Жидкость описывается полем скорости и полем температуры Основными уравнениями, описывающими эту систему, являются:

а) уравнение Навье — Стокса

б) уравнение теплопроводности

в) уравнение неразрывности

с граничными условиями

Рис. 118. Конвективные валы и геометрические параметры в эксперименте Бенара.

Здесь — плотность жидкости вязкость, — давление, к — температуропроводность, внешняя сила тяготения в направлении Нелинейность в гидродинамике связана с конвективным слагаемым (квадратичным по v) в уравнении Навье — Стокса

Чтобы упростить вычисления, предполагается, что а) система обладает трансляционной инвариантностью по у, так что конвекционные валы простираются до бесконечности, как показано на рис. 118, и б) зависимостью от АТ всех коэффициентов, кроме , можно пренебречь (приближение Буссинеска). Уравнение неразрывности принимает вид

поэтому удобно ввести функцию , для которой

так что выполняется автоматически.

Далее введем отклонение от линейного профиля температуры:

Используя основные уравнения можно записать в виде (Saltzman, 1981)

где

— кинематическая вязкость (член, содержащий давление, уничтожается применением ротора к уравнениям Навье — Стокса).

Чтобы упростить Лоренц использовал свободные граничные условия

и, сохраняя только младшие члены в фурье-представлении предложил следующую подстановку:

где переменные X, Y и Z зависят только от времени, — число Рэлея, — критическое значение R, а — отношение геометрических размеров (рис. 118). Отсюда получаем

где точкой обозначена производная по безразмерному времени — число Прандтля, — внешний управляющий параметр.