2.2. Характеристики хаотического движения

Здесь мы вводим показатель Ляпунова, а также инвариантную меру и корреляционную функцию как количественные характеристики хаотического движения, порожденного одномерным отображением Пуанкаре.

Показатель Ляпунова. В предыдущем разделе мы уже видели, что под действием отображения

соседние точки могут разбегаться, что ведет к хаотическому движению. Показатель Ляпунова характеризует степень экспоненциального разбегания, как показано на рис. 8.

Согласно рис. 8, для получаем выражение

которое в пределе при и дает точную формулу для

Отсюда следует, что — это коэффициент растяжения; он

Рис. 8. Определение показателя Ляпунова.

указывает, во сколько раз в среднем увеличится за одну итерацию расстояние между очень близкими точками.

Кроме того, показатель Ляпунова определяет среднюю потерю информации (о положении точки в [0, 1]) за одну итерацию. Чтобы показать это, воспользуемся в (2.7) формулой для производной сложной функции (цепное правило)

и запишем показатель Ляпунова в виде

Теперь обсудим вопрос о потере информации за одну итерацию линейного отображения. Разобьем интервал [0, 1] нал равных подынтервалов и предположим, что точка может оказаться в каждом из них с вероятностью Узнав, какой из подынтервалов содержит мы имеем информацию

где означает логарифм по основанию 2 (см. приложение 6). Если мы уменьшаем то информация уменьшается и при становится равной нулю.

Из рис. 9 видно, что линейное отображение изменяет длину интервала в раз. Соответствующее уменьшение определенности приводит к следующей потере информации в результате действия отображения:

Обобщение этого выражения в ситуации, когда зависит от

Рис. 9. Увеличение интервала под действием линейного отображения.

х, после усреднения по итерациям приводит к такой формуле для средней потери информации

что в силу (2.9) пропорционально показателю Ляпунова:

Это соотношение между показателем Ляпунова и потерей информации является первым шагом на пути к тому, чтобы охарактеризовать хаос в инвариантной (относительно координат) форме — более содержательно это будет объяснено в гл. 5.

В качестве примера вычислим показатель Ляпунова для треугольного отображения

показанного на рис. 10. Функция служит удобной моделью, поскольку при она порождает хаотическую последовательность , а поскольку она еще и проста по форме, все величины, характеризующие хаотическое состояние, можно вычислить точно.

Чтобы подробнее разобраться с этим отображением, рассмотрим вопрос об устойчивости его неподвижных точек при различных значениях .

В общем случае точках называется неподвижной точкой

Рис. 10. Треугольное отображение

отображения если

т. е. неподвижные точки лежат на пересечении графика с биссектрисой.

Неподвижная точка локально устойчива, если все точки в окрестности точки притягиваются к ней, т. е. если последовательность итераций

сходится Поскольку расстояние до тонких изменяется следующим образом:

то аналитическим критерием локальной устойчивости является условие

На рис. 11, а показано, что при точка является единственной устойчивой неподвижной точкой и к ней притягиваются все точки из [0, 1].

При существуют уже две неустойчивые неподвижные точки. На рис. 11, б показано, как при итерации точек удаляются от неподвижных точек соответственно. Далее мы рассмотрим лишь случай этот случай является характерным для .

Рис. 11. а — Устойчивая неподвижная точка при ; б — две неустойчивые неподвижные точки при

Рис. 12. a — Разбегание точек поя действием итераций итерация Д».

Что мы можем сказать о последовательности итераций, если устойчивых неподвижных точек не существует? Во-первых, заметим, что под действием начальных итераций близкие точки все более и более разбегаются, как показано на рис. 12. Если мы начертим график итерации то увидим (рис. 12), что она также является кусочно-линейной и имеет наклон всюду, за исключением счетного множества точек где Таким образом, с ростом разбегание «почти всех» точек за итераций растет экспоненциально, и независимо показатель Ляпунова оказывается равным

В общем случае для треугольного отображения (2.14) показатель Ляпунова, очевидно, равен Отсюда следует, что при т. е. в этом случае в результате итерации мы теряем информацию о положении точки в [0, 1]. При выполняется неравенство и тогда мы приобретаем информацию, так как все точки притягиваются

При показатель Ляпунова меняет знак, поэтому можно сказать, что он играет роль параметра порядка, который характеризует наступление хаоса (рис. 13).

Чтобы аналогия с критическими явлениями стала более полной, добавим, что в окрестности «критической точки»

Рис. 13. Показатель Ляпунова для треугольного отображения как функция в окрестности

значение изменяется по степенному закону:

Это означает, что даже простой переход к хаосу в треугольном отображении обнаруживает ряд особенностей, которые напоминают фазовый переход вблизи состояния равновесия. Как уже упоминалось, мы обсудим этот аспект более детально в гл. 3. Следует также отметить, что определение показателя Ляпунова можно обобщить и на отображения более высокой размерности. Это будет сделано в гл. 5, где мы, кроме того, обсудим связь между показателем Ляпунова и энтропией Колмогорова — Синая, а также его возможное влияние на хаусдорфову размерность. Но перед тем, как перейти к этим проблемам, изучим вопрос о распределении итераций одномерного отображения на единичном интервале.

Инвариантная мера. Инвариантная мера задает плотность итераций отображения

на единичном интервале и определяется следующим образом:

Данное формальное выражение позволяет записать временнбе среднее функции как среднее значение относительно инвариантной меры

Это представляет собой одномерный аналог термодинамического усреднения в статистической механике, позволяющего, в случае когда движение в фазовом пространстве эргодично, заменить временнбе усреднение усреднением по ансамблю относительно стационарного распределения , т. е.

Здесь А есть функция от вектора зависящего от

времени, где координаты q и импульсы удовлетворяют уравнениям Гамильтона

а является, например, микроканоническим распределением изолированной системы с энергией Е. Заметим, однако, что наш одномерный пример соответствует диссипативной системе (см., например, гл. 1, уравнение (1.8)), в то время как уравнения Гамильтона (2.25) описывают консервативную модель.

Тем не менее представляет интерес исследование эргодичности в одномерной модельной системе, у которой «временная» эволюция задается отображением (2.21).

Мы будем изучать следующие два вопроса:

1) как можно вычислить

2) существует ли единственная плотность для которой выполняется

К счастью, уравнение движения (2.21) проще, чем (2.25), и мы в состоянии без дополнительных допущений вычислить некоторых отображений.

Преобразуя интегральное уравнение для мы попытаемся Ответить на первый поставленный вопрос. Основная идея здесь заключается в том, что плотность обязана быть стационарной, т. е. уравнение (2.23) имеет смысл лишь тогда, когда не зависит от времени. Как развивается во времени данное распределение? Если мы рассмотрим точку то за одну итерацию она переходит в Это означает, что распределение в виде дельта-функции переходит за единицу времени в а данное распределение через одну итерацию принимает вид

Если для воспользоваться выражением (2.22), то мы получим, что плотность распределения инвариантна относительно (2.26), т. е.

Это означает, что стационарна, т. е., как и ожидалось, она не изменяется во времени под действием отображения и, таким образом, является решением так называемого интегрального уравнения Фробениуса — Перрона (2.27).

Итак, мы отвечаем на первый из поставленных вопросов: действительно можно вычислить с помощью (2.27). На второй вопрос — о единственности — можно ответить лишь при решении (2.27) для специальных случаев отображения .

Вновь рассмотрим в качестве примера треугольное отображение при

В этом случае (2.27) принимает вид

Это уравнение имеет очевидное нормированное решение Кроме того, мы можем показать, что это решение единственно. Если взять в качестве начального произвольное нормированное распределение и применить к нему раз (2.27), то получим выражение

которое сходится к

    (2.31)

Это означает, что для треугольного отображения при хаотическая последовательность итераций равномерно покрывает интервал [0, 1] и система эргодична. Далее мы будем изучать инвариантную плотность вероятности, равно как и показатель Ляпунова, для более сложных отображений и покажем, что она не всегда постоянна.

Корреляционная функция. Корреляционная функция для отображения (2.21) определяется следующим образом:

где

Из этого определения следует, что представляет еще одну характеристику стохастичности итерационной последовательности Эта характеристика показывает, насколько отклонения от среднего значения

вычисленные через шагов (т. е. ), связаны в среднем друг с другом.

Если для данного отображения известная инвариантная мера то можно записать в следующем виде:

Здесь мы воспользовались свойством коммутативности итераций, т. е.

Таким образом, в случае треугольного отображения имеем

    (2.37 а)

т. е. последовательность итераций дельта-коррелирована.

Этот результат следует из того, что функция симметрична относительно и поэтому первый интеграл в (2.376) вращается в нуль при а второй интеграл не зависит от , как показано на рис. 14.

Суммируя сказанное, отметим следующее.

Мы установили, что для одномерного отображения в общем случае последовательность может быть охарактеризована с помощью а) показателя Ляпунова, который показывает,

Рис. 14. Первая и вторая итерации симметричны относительно площади треугольников не зависят от

как разбегаются близкие точки под действием ; б) инвариантной плотности вероятности, которая служит мерой того, как точки итерационной последовательности распределяются на интервале; в) корреляционной функции которая измеряет зависимость между итерациями через шагов.

Для треугольного отображения показатель Ляпунова равен он меняет знак при Поэтому он может служить параметром, отмечающим появление хаоса. При хаотическое поведение характеризуется постоянной стационарной плотностью и дельта-коррелированными итерациями: