Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
2.2. Характеристики хаотического движенияЗдесь мы вводим показатель Ляпунова, а также инвариантную меру и корреляционную функцию как количественные характеристики хаотического движения, порожденного одномерным отображением Пуанкаре. Показатель Ляпунова. В предыдущем разделе мы уже видели, что под действием отображения
соседние точки могут разбегаться, что ведет к хаотическому движению. Показатель Ляпунова Согласно рис. 8, для
которое в пределе при
Отсюда следует, что
Рис. 8. Определение показателя Ляпунова. указывает, во сколько раз в среднем увеличится за одну итерацию расстояние между очень близкими точками. Кроме того, показатель Ляпунова определяет среднюю потерю информации (о положении точки в [0, 1]) за одну итерацию. Чтобы показать это, воспользуемся в (2.7) формулой для производной сложной функции (цепное правило)
и запишем показатель Ляпунова в виде
Теперь обсудим вопрос о потере информации за одну итерацию линейного отображения. Разобьем интервал [0, 1] нал равных подынтервалов и предположим, что точка
где Из рис. 9 видно, что линейное отображение
Обобщение этого выражения в ситуации, когда
Рис. 9. Увеличение интервала х, после усреднения по итерациям приводит к такой формуле для средней потери информации
что в силу (2.9) пропорционально показателю Ляпунова:
Это соотношение между показателем Ляпунова и потерей информации является первым шагом на пути к тому, чтобы охарактеризовать хаос в инвариантной (относительно координат) форме — более содержательно это будет объяснено в гл. 5. В качестве примера вычислим показатель Ляпунова для треугольного отображения
показанного на рис. 10. Функция Чтобы подробнее разобраться с этим отображением, рассмотрим вопрос об устойчивости его неподвижных точек при различных значениях В общем случае точках называется неподвижной точкой
Рис. 10. Треугольное отображение отображения
т. е. неподвижные точки лежат на пересечении графика Неподвижная точка локально устойчива, если все точки
сходится
то аналитическим критерием локальной устойчивости является условие
На рис. 11, а показано, что при При
Рис. 11. а — Устойчивая неподвижная точка
Рис. 12. a — Разбегание точек поя действием итераций Что мы можем сказать о последовательности итераций, если устойчивых неподвижных точек не существует? Во-первых, заметим, что под действием начальных итераций близкие точки все более и более разбегаются, как показано на рис. 12. Если мы начертим график
В общем случае для треугольного отображения (2.14) показатель Ляпунова, очевидно, равен При Чтобы аналогия с критическими явлениями стала более полной, добавим, что в окрестности «критической точки»
Рис. 13. Показатель Ляпунова для треугольного отображения как функция значение
Это означает, что даже простой переход к хаосу в треугольном отображении обнаруживает ряд особенностей, которые напоминают фазовый переход вблизи состояния равновесия. Как уже упоминалось, мы обсудим этот аспект более детально в гл. 3. Следует также отметить, что определение показателя Ляпунова можно обобщить и на отображения более высокой размерности. Это будет сделано в гл. 5, где мы, кроме того, обсудим связь между показателем Ляпунова и энтропией Колмогорова — Синая, а также его возможное влияние на хаусдорфову размерность. Но перед тем, как перейти к этим проблемам, изучим вопрос о распределении итераций одномерного отображения на единичном интервале. Инвариантная мера. Инвариантная мера
на единичном интервале и определяется следующим образом:
Данное формальное выражение позволяет записать временнбе среднее функции
Это представляет собой одномерный аналог термодинамического усреднения в статистической механике, позволяющего, в случае когда движение в фазовом пространстве эргодично, заменить временнбе усреднение усреднением по ансамблю относительно стационарного распределения
Здесь А есть функция от вектора времени, где координаты q и импульсы
а Тем не менее представляет интерес исследование эргодичности в одномерной модельной системе, у которой «временная» эволюция задается отображением (2.21). Мы будем изучать следующие два вопроса: 1) как можно вычислить 2) существует ли единственная плотность К счастью, уравнение движения (2.21) проще, чем (2.25), и мы Преобразуя интегральное уравнение для
Если для
Это означает, что Итак, мы отвечаем на первый из поставленных вопросов: Вновь рассмотрим в качестве примера треугольное отображение при
В этом случае (2.27) принимает вид
Это уравнение имеет очевидное нормированное решение
которое сходится к
Это означает, что для треугольного отображения при Корреляционная функция. Корреляционная функция
где
Из этого определения следует, что
вычисленные через Если для данного отображения
Здесь мы воспользовались свойством коммутативности итераций, т. е.
Таким образом, в случае треугольного отображения имеем
т. е. последовательность итераций дельта-коррелирована. Этот результат следует из того, что функция Суммируя сказанное, отметим следующее. Мы установили, что для одномерного отображения в общем случае последовательность
Рис. 14. Первая и вторая итерации как разбегаются близкие точки под действием Для треугольного отображения показатель Ляпунова равен
|
1 |
Оглавление
|