7.2. Квантовая частица в стадионе

В предыдущем разделе было показано, что поведение квантовой системы, хаотической в классическом пределе, не обязательно является хаотическим. Тем не менее можно ожидать некоторое различие между квантовыми системами, для которых соответствующие классические уравнения описывают нерегулярные траектории, и квантовыми системами — аналогами интегрируемых классических систем с регулярным движением. Чтобы понять, в чем состоит это отличие, Макдональд и Кауфман (McDonald, Kaufman, 1979) нашли волновые функции и спектр свободной частицы в стадионе и в круге, численно решая двумерное уравнение Шредингера для свободной

частицы:

с граничным условием на стенках.

Полученные результаты (рис. 114) можно суммировать следующим образом:

а) Вычисленные по собственным функциям кривые нулевого уровня оказываются нерегулярными для стадиона и регулярными для круга.

(см. скан)

Рис. 114. Кривые нулевого уровня для одного квадранта собственных функций (с двойной отрицательной четностью) в случае диска (а) и стадиона (б) с размерами R - а. Распределение расстояний между соседними уровнями энергии (для состояний той же четности) для круговой границы (в) и для границы стадиона (McDonald, Kaufmann, 1979). Отметим, что здесь . обозначает расстояние между соседними уровнями; j увеличивается с энергией.

б) Распределение N (АЕ) расстояний между соседними уровнями для круга имеет максимум при т. е. существует большая вероятность вырождения уровней, или, иначе, притяжения уровней. Было доказано (Berry, Tabor, 1977), что для интегрируемых систем выполняется зависимость . (Исключение составляет линейный квантовый осциллятор, для которого — дельта-функция в точке ). Для стадиона функция максимальна в точке , т. е. имеется расталкивание уровней.

Такое расталкивание уровней было найдено также для квантового аналога бильярда Синая (Berry, 1983, Bohigas Этот эффект, по-видимому, является характерной особенностью квантовых систем, которые в классическом пределе обнаруживают хаос. Он связан с тем, что в таких системах отсутствуют симметрии, т. е. нет вырождения (и нет правил отбора, исключающих совместное взаимодействие уровней), и поэтому

Предложены некоторые теоретические объяснения этого явления, а также найдена интересная связь с теорией случайных матриц (Zaslavsky, 1981, Berry, 1983, Bohigas которая обычно используется для объяснения расталкивания уровней в ядерных спектрах. Заметим, что распределение расстояний между соседними уровнями связано со спектром собственных значений квантово-механического оператора Лиувилля L, поскольку , где Н — оператор Гамильтона и

— его собственные функции.