4.2. Ренормгрупповое исследование перемежаемости

Явление перемежаемости также исследовано в рамках ренормгруппового подхода с использованием оператора удвоения, с которым мы уже встречались ранее при исследовании перехода по сценарию Фейгенбаума. Идея состоит в следующем. Рассмотрим обобщение отображения (4.6) при на произвольные показатели z > 1, так что при оно будет иметь вид

Из-за наличия линейного члена по вторая итерация после соответствующего изменения масштабов демонстрирует такое же асимптотическое поведение (рис. 47 — повтор рис. 25 для логистического отображения). Уместно далее задаться вопросом: может ли повторное применение оператора удвоения Т к функции вида (4.13) привести к той же неподвижной точке ):

но с граничными условиями (4.13), т. е. а не

Рис. при а — вторая итерация образуется путем добавления к квадрату, содержащему (к), такого же квадрата, повернутого на 90°. Стрелками показано, как получается б — в квадрате, обведенном пунктиром, вторая итерация подобна оригиналу

как это было для бифуркации Фейгенбаума.

Было показано (Ни, Rudnik, 1982), что с новым граничным условием (4.13) уравнение неподвижной точки (4.14), характеризующее перемежаемость, имеет точное решение.

Способ решения заключается в том, что рекуррентное соотношение

записывается в неявной форме

т. е.

где а — параметр.

Уравнение неподвижной точки

при этом преобразуется в

или после воздействия оператором G получается

Далее, используя уравнение (4.16), находим

т. е.

Сравнение (4.20) и (4.22) показывает, что для соответствия уравнению неподвижной точки оператор G должен обладать следующим свойством:

Простой выбор дает желаемый результат. При этом функция, являющаяся неподвижной точкой

при удовлетворяет граничному условию (4.13). Видно,

что отображение неподвижной точки для перемежаемости математически связано с трансляцией однако простое физическое объяснение этой связи неочевидно.

Конечно, недостаточно просто найти функцию (неподвижную точку). Хотелось бы еще классифицировать возмущения в соответствии с их значимостью (см., например, табл. 3). Далее мы исследуем вопрос о том, как преобразование удвоения Т (линейное по ) действует на функцию

Используя определение Т (4.14), получаем

Последнее соотношение справедливо только тогда, когда — собственная функция (с собственным числом X) линеаризованного оператора удвоения

аналогична уравнению (3.50) для перехода Фейгенбаума.

Покажем теперь, что использованный здесь метод нахождения неподвижной точки позволяет также найти спектр собственных значений X и соответствующих собственных функций

Запишем вначале в неявном виде, используя уравнение (4.17):

Если представить в виде

то можно выразить через (и наоборот) путем сравнения

коэффициентов при членах, линейных по , в левой и правой частях (4.28).

Далее, рассмотрим вторую итерацию

я подействуем на нее оператором

или более явно

Так как — просто степенная функциях, проверим аналогичную форму представления для

Используя свойство (4.23), из (4.32) получаем

или

где

С учетом (4.28) это дает

Сравнивая этот результат с выражением (4.26), видим, что X — действительно собственное значение функции определяемой выражением

Решая (4.39) вплоть до порядка , получаем

    (4.40)

Выражения (4.37) и (4.40) представляют основные результаты, полученные в этом разделе. Они показывают, как оператор Т (с

точностью до линейных по отклонению членов) действует на функцию , удовлетворяющую граничному условию (4.13). Для этого разложим по

Таким образом, переход через перемежаемость в отличие от перехода по Фейгенбауму является тем редким случаем, когда линеаризованные ренормгрупповые уравнения могут быть решены точно.

В качестве приложения рассмотрим зависимость длительности ламинарной области от сдвига отображения относительно точки касания (рис. 48). Собственная функция в уравнении (4.40) нормирована так, что ее член низшего порядка есть . Таким образом, постоянный сдвиг от точки касания соответствует значительному возмущению с . При этом собственное число

Теперь можно с помощью простого масштабирования определить

Так как величина связана с числом итераций в точке требует лишь половины шагов, необходимых для получаем масштабное соотношение

Используя (4.26), при большом числе итераций находим

Рис. 48. Сдвиг от касательной.

откуда с учетом (4.42) при будем иметь

При это соотношение согласуется с ранее полученным результатом (4.12). Таким же способом можно показать, что линейное по возмущение, т. е.

приводит к

а возмущения вида при несущественны.

Наконец, отметим, что исследование воздействия внешнего шума амплитуды а на перемежаемость (Hirsch, Nauenberg, Scalapino, 1982) показало, что величина определяется выражением

где g — универсальная функция.