5.6. Пути перехода к хаосу

В табл. 10 объединены три различных пути перехода к хаосу, которые мы до сих пор обсуждали. Однако эту таблицу можно считать лишь первым приближением к истинному разнообразию сценариев перехода (вспомним лишь, что мы уже обсудили три типа перемежаемости). Хотя представляется естественным сосредоточиться на общих чертах, было бы преждевременным делать радикальные обобщения о переходах к хаосу. Следует подчеркнуть, что диапазон наблюдаемого динамического поведения довольно велик. С одной стороны, это объясняется тем, что гидродинамический эксперимент (неустойчивости Бенара и Тейлора) сильно зависит от отношения геометрических масштабов (т. е. соотношения размеров ячейки в эксперименте Бенара и отношения зазора между цилиндрами к высоте цилиндра в эксперименте Тейлора), так что для

Таблица 10. Перечень основных путей перехода к хаосу (см. скан)

данного набора управляющих параметров может быть больше одного устойчивого состояния. С другой стороны, при наличии нескольких управляющих параметров возможны новые типы переходов (см. например, рис. 81 и 82).

Рассмотрим три результата наблюдений, не описанные в предыдущих разделах.

Возможность существования трехчастотных квазипериодических орбит. Если поток в фазовом пространстве некоторой системы имеет три несоизмеримые частоты, произвольно малые изменения превращают его из квазипериодического в хаотический (Newhouse, Ruelle, Takens, 1978). Из этого можно было бы попросту заключить, что трехчастотный поток невероятен, так как может быть разрушен малыми возмущениями. Но, как было показано численно (Grebogi, Ott, Yorke, 1983), добавление гладких нелинейных возмущений не обязательно разрушает трехчастотную квазипериодичность. (В доказательстве Ньюхауза и др. малые возмущения,

необходимые для возникновения хаотических аттракторов, имеют малые первую и вторую производные, но не обязательно имеют малые третью и высшие производные, как ожидается для физических приложений.)

Вычисления (Grebogi et al., 1983) можно разюмировать следующим образом. Согласно разд. 5.4, отображение Пуанкаре, связанное с потоком, имеющим две несоизмеримые частоты и возмущаемым имеет вид

где — периодическая функция берутся по модулю 1. Аналогично поток с тремя несоизмеримыми частотами соответствует отображению

    (5.84 а)

где также берутся по модулю — периодические по функции. Параметры и несоизмеримы друг с другом и с единицей, т. е. не существует целых , для которых Выражая в виде суммы членов ряда Фурье

и оставляя (произвольно) только члены ) вычислим показатели Ляпунова для отображения (5.84) при случайных значениях . Результаты вычислений сведены в табл. 11, показывающую, что для типичного выбора фиксированных мера дающая хаос, стремится к нулю при Трехчастотная квазипериодичность возможна только при когда отображение обратимо. Данные этой таблицы вычислены при 256 случайных значениях

Таблица II. Наблюдаемые частоты для различных типов аттракторов

Рис. 81. Зависимость логарифма спектра мощности (локальной температуры) в эксперименте Бенара с ртутью в магнитном поле: а — квазипериоднческая область с двумя несоизмеримыми частотами б — трехчастотная периодичность, т. е. одновременно с самопроизвольным экспоненциально спадающим шумом в спектре присутствуют (Libchaber et al., 1983).

Рис. 82. Спектр мощности напряжения поперек кристалла НБН с постоянным током. При понижении температуры наблюдается переход «одна — две — три основные частоты — хаос» (Martin, Leber, Martienssen, 1984).

Показатели Ляпунова определялись с точностью до порядка (Grebogi et al., 1983а).

Переход от квазипериодичности к хаосу, при котором трехчастотная квазипериодичность еще сохраняется (т. е. распад этого состояния в странный аттрактор неполон), наблюдался в эксперименте Бенара с ртутью в магнитном поле (Libchaber, Fauve, Laroche,

1983, рис. 81) и в эксперименте с сегнетоэлектриком — кристаллом НБН (ниобат бария-натрия) (Martin, Leber, Martienssen, 1984, рис. 82).

В эксперименте Бенара горизонтальное поле служит вторым управляющим параметром и эффективно увеличивает вязкость электропроводной жидкости.

Во втором случае кристалл помещен в печь, в которой поддерживается постоянный поток увлажненного кислорода (проводимость частично обеспечивается кислородными вакансиями). Вдоль с - оси образца прикладывается стабилизированный постоянный ток и регистрируется напряжение поперек кристалла и интерференционная картина двойного лучепреломления. С ростом напряжения на катоде возникают «домены» и постепенно расходятся по кристаллу (см. фото V на вклейке). Так как здесь три управляющих параметра (температура, плотность тока и поток кислорода), кристалл НБН, имеющий нелинейную вольт-амперную характеристику, представляет собой интересную систему для экспериментального исследования хаоса.

Синхронизация частот. Из эксперимента известно, что переход от квазипериодичности к хаосу может прерываться синхронизацией частот (рис. 83). Переход от состояния синхронизации мод к хаосу остается предметом активных экспериментальных и теоретических исследований; существуют, по-видимому, несколько возможных типов перехода: синхронизация — хаос, синхронизация — перемежаемость — хаос и т. д. (Rand et al., 1983; Dubois et al., 1982).

Исследование отображения окружности показывает, что синхронизация частот проявляется в больших областях пространства параметров. Состояние синхронизации соответствует рациональным значениям чисел вращения w отображения окружности (5.56)

Рис. 83. Синхронизация частот в эксперименте Бенара (Gollub, Benson, 1979).

Общий -цикл при решение уравнения

и по аналогии с (3.10) цикл устойчив при

Уравнения (5.86)-(5.88) дают для данного К. Отсюда сразу находим, например, что На рис. 84, а показана общая структура пространства параметров. Так как существуют большие области, где w принимает рациональные значения, то вероятно, что состояния синхронизации частот могли бы наблюдаться экспериментально. Заметим, что уравнения (5.86)-(5.88) являются более общими, чем (5.59), так как снимается ограничение, что -цикл должен содержать нулевой элемент, и при фиксированном каждым значением связан интервал величины Q. На рис. 84, б показано, что при образуют полную самоподобную «чертову лестницу» (лестница полна, если )

Кризисы. Кризисы — это столкновения хаотического аттрактора с независимой неустойчивой неподвижной точкой или периодической траекторией. В работе (Grebogi, Ott, Yorke, 1983b) впервые отмечено, что такие столкновения приводят к внезапным изменениям хаотического аттрактора. Простым примером служит окно периода 3 логистического отображения (см. рис. 43), где касательная бифуркация порождает три устойчивые и три неустойчивые неподвижные точки. Рис. 85 показывает, что неустойчивые

Рис. 84. а — Схема общей структуры пространства параметров для отображения окружности. В областях наблюдается синхронизация мод с числом мод непрерывные кривые соответствуют иррациональным значениям w (Rand et al., 1983); б — полная «чертова лестница» для критического отображения окружности Показаны интервалы устойчивости с (Jensen et al., 1983b).

Рис. 85. Фрагмент бифуркационной диаграммы в области касательной бифуркации периода 3. Пунктирными линиями обозначена неустойчивая орбита периода 3, появляющаяся при касательной бифуркации; при наблюдается кризис (Grebogi et al., 1983b).

неподвижные точки, попадая в хаотические области, немедленно выталкивают траекторию из субполосы, так что области между полосами также хаотически заполнены. Сходные кризисы имеют место для двух- и трехмерных отображений и трехмерных потоков. При достижении разрыва обнаруживается переходный хаос, т. е. траектории, кажущиеся хаотическими, экспоненциально быстро стремятся к периодическим. Скорость сходимости является степенной функцией расстояния (в пространстве параметра) от разрыва. Можно предположить (Grebogi et al., 1983b), что «почти все» внезапные изменения в хаотических аттракторах происходят из-за кризисов.