3.3. Самоподобие, универсальный спектр мощности и влияние внешнего шума

В этом разделе мы вычислим расстояния между элементами -цикла и определим его спектр мощности. Затем мы покажем, что внешний шум может резко изменять спектр мощности и разрушать высшие субгармоники. В заключение обсудим бифуркационную диаграмму при и покажем, что хаотичность поведения итераций логистического отображения при связана с хаосом треугольного отображения.

Спектр мощности — важная характеристика для описания стохастического движения. Чтобы вычислить его для системы, в которой проявляется фейгенбаумовский переход к хаосу, нам нужно прежде всего определить относительное расположение элементов цикла. Для этого мы отождествляем с временной переменной.

Самоподобие в расположении элементов цикла. О расположении элементов цикла мы знаем пока лишь то, что, согласно уравнениям (3.3) и (3.14), расстояние до ближайшего элементу суперцикла изменяется в соответствии с масштабным коэффициентом а, т. е.

Теперь мы собираемся обобщить эти уравнения. Вычислим для всех расстояние от элемента -суперцикла до его ближайшего соседа

и подсчитаем изменение при увеличении . Таким образом, определяем функцию

Через циклических шагов функция меняет знак:

поскольку

и величина инвариантна

Рассмотрим теперь значения и вычислим при Из определений (3.55), (3.56) следует равенство

которое в силу соотношения

принимает вид

Заметим, что при функции можно найти с помощью

    (3.44)

Для меньших значений можно воспользоваться соотношением

Если ввести новую переменную и опустить индекс , то соотношение симметрии (3.57) запишется в виде

Отсюда, в силу известного уже масштабного соотношения (3.54),

находим значение а при

С другой стороны, из (3.61) получаем

Здесь мы учли, что

Отсюда, имея в виду (3.64), находим

Это означает, что терпит разрывы в точках

Более подробные вычисления показывают, что терпит разрывы во всех двоично-рациональных точках, как показано на рис. 27. К счастью, скачки при возрастании числа членов в двоичном разложении рационального быстро убывают, и поэтому часто оказывается достаточным учитывать скачки лишь в точках .

Хаусдорфова размерность. Согласно рис. 27, расстояния между ближайшими точками суперцикла до и после бифуркации находятся в универсальном отношении. Самоподобие такого явления может быть описано с помощью хаусдорфовой размерности аттрактора.

Если для того, чтобы покрыть некоторое множество (-мерного пространства, требуется d-мерных шаров диаметра

Рис. 27. функция (Feigenbaum, 1980).

Рис. 28. Хаусдорфова размерность прямой и некоторых типичных самоподобных множеств, так называемых фракталов (Mandelbrot, 1982). Разумеется, ответвления продолжаются до бесконечности. Кривая Коха представляет собой линию бесконечной длины, ограничивающую конечную площадь.

причем изменяется следующим образом:

то D называется хаусдорфовой размерностью этого множества. Для самоподобных множеств типа тех, что представлены на рис. 28, размерность D можно вычислить по формуле

Заметим, что длина L канторовского множества, изображенного на

рис. 28, равна 0. Действительно,

Хаусдорфова размерность D -суперцикла в пределе при может быть вычислена следующим образом. Если для того, чтобы покрыть все точки -суперцикла требуется сегментов длины то, согласно рис. 27, средняя минимальная длина необходимая для покрытия всех циклических точек, приближенно равна

откуда следует, что

    (3.73)

Это значение лишь на 5% отличается от аналитического и численного результата (Grassberger, 1981). Численный результат был получен при помощи покрытия аттрактора достаточно малыми сегментами длины и вычисления

На рис. 29 показана типичная канторовская структура аттрактора. Теперь на основании полученных результатов мы покажем, что после каждого шага бифуркации измеримый спектр мощности изменяется чрезвычайно просто.

Спектр мощности. Спектр мощности можно получить, если представить элементы -цикла через фурье-компоненты т. е.

Рис. 29. Расположение элементов цикла

Рис. 30. Изменение фурье-компонент в результате бифуркации (схематично).

Из периодичности цикла следует, что

т. е. в результате перехода от бифуркации к возникает новых субгармоник с частотами как показано на рис. 30. Соответствующие изменения коэффициентов можно вычислить, зная значения функции Для этого выразим вначале из уравнения (3.74) коэффициенты

Представляя интервал в виде двух частей длины

1, получаем

Амплитуды вновь появившихся четных гармоник выражаются в сущности через старый спектр (рис. 30), поскольку

Вычисление нечетных компонент — дело более тонкое, оно требует

использования уже полученной нами функции

Из (3.77) имеем

и

где

Таким образом, получаем

так как

где аппроксимирована простой кусочно-постоянной функцией. Заменяя в (3.82) сумму по к интегралом и используя следующее

соотношение:

окончательно получаем

    (3.85)

Таким образом, амплитуды нечетных субгармоник, которые появляются в результате каждой бифуркации, в среднем равны усредненным амплитудам старых нечетных компонент, домноженным на постоянное число Этому утверждению относительно усредненных величин нельзя придать более сильную формулировку из-за того, что при выводе (3.85) несколько раз были использованы приближенные равенства.

Универсальная картина спектра мощности такова:

Схематично она представлена на рис. 30. Такая картина согласуется в разумных пределах с численными результатами, в частности для отображения (рис. 31).

Рис. 31. Численно полученный спектр мощности квадратичного отображения. По оси ординат отложен логарифм амплитуды (дБ). Последовательные нечетные субгармоиики отличаются множителем (Collet, Eckmann, 1980).

Влияние внешнего шума. В эксперименте не удается наблюдать рассмотренный выше спектр мощности во всех его деталях — мешает внешний шум (рис. 32). Чтобы количественно исследовать

(см. скан)

Рис. 32. а — Итерации логистического отображения и его показатель Ляпунова б — соответствующие величины при наличии внешнего шума с амплитудой (Crutchfield, Farmer, Hubermann, 1982). Хотя из-за наличия шума тонкая структура итераций и детали поведения оказываются размытыми, тем не менее и здесь имеется резкий переход к хаосу, на что указывает смена знака в — подавление субгармоник при наличии белого шума а. Заметим, что при переходе от к амплитуда субгармоник уменьшается в раз (схематично).

действие возмущений, мы добавим в логистическое уравнение дополнительное слагаемое

и вычислим его влияние на каскад бифуркаций.

Предполагается, что случайные величины распределены по Гауссу со средним значением

(аналогично и их фурье-компоненты распределены по Гауссу) и а определяет интенсивность белого шума. Напомним, что новые Фурье-компоненты -цикла в раз меньше старых компонент Это означает, что любой ограниченный внешний шум в

конце концов подавит все субгармоники с номерами, превышающими некоторое (рис. 32, в).

В действительности значения (для которых все субгармоники, начиная с номера , становятся ненаблюдаемыми, поскольку их подавляет внешний шум) и соответствующие амплитуды связаны степенным законом

Это можно показать следующим образом. Если для значения R, будет достаточно уровня шума чтобы подавить первую субгармонику то для значения при шуме исчезнут все субгармоники Если теперь исключить из выражений

    (3.90 а)

то отсюда будет следовать (3.89).

Зависимость (3.89), свидетельствующая об уменьшении при возрастании амплитуды шума, была проверена численно (рис. 33).

Внешний шум, порождающий хаос при играет роль, подобную магнитному полю, которое вызывает конечное намагничивание за критической точкой магнетика. Эта аналогия была исследована в работе (Shraiman, Wayne, Martin, 1981), где показано, в частности, что при наличии внешнего шума показатель Ляпунова ведет себя таким образом:

Рис. 33. Подавление периодического режима логистического отображения под действием внешнего шума (Crutchfield, Farmer, Hubermann, 1982).

Рис. 34. Численное определение функции в уравнении (3.916). На график нанесены значения величины для 100 значений при трех уровнях шума:

или, что эквивалентно,

    (3.916)

где — универсальные функции (рис. 34). Эти результаты были получены также Фейгенбаумом и Хасслахером (Feigenbaum, Hasslacher, 1982) с помощью метода прореживания интегралов по траекториям. Их метод имеет широкую область важных применений; он излагается в приложении 5. Уравнение (3.91а) вызывает ассоциации с качественным поведением намагниченности М вблизи критической точки при фазовом переходе 2-го рода:

здесь — отклонение температуры от ее значения в критической точке, h — магнитное поле. При наступлении хаоса X меняет знак, и тогда уравнение (3.91 а) дает

    (3.93)

т. е. мы получаем знакомое нам уравнение (3.89).

Поведение логистического отображения при . В заключение обсудим кратко поведение логистического отображения при Мы уже показывали выше, что в результате бесконечной последовательности бифуркаций удвоения при значении параметра появляется бесконечное множество — так называемый аттрактор Фейгенбаума, который имеет хаусдорфову размерность Из рис. 19 видно, что при показатель Ляпунова X логистического отображения еще остается равным 0, т. е. аттрактор Фейгенбаума не является странным аттрактором (точное определение см. в гл. 5). Однако, согласно рис. 19, при принимает в основном положительные значения и поэтому имеет смысл говорить, что хаос возникает на границе бифуркационной области. Детальное поведение итераций логистического

отображения в области становится уже довольно сложным, но и здесь имеются участки регулярного поведения, которые описываются оператором удвоения и поэтому являются универсальными.

Дальнейшие детали можно найти в литературе к данной главе. Мы покажем лишь, что при логистическое отображение топологически сопряжено с треугольным отображением вида

которое, как было установлено в гл. 2, порождает хаотическую последовательность итераций.

Два отображения и g называются топологически сопряженными, если существует обратимое преобразование такое, что

    (3.95)

В нашем случае отображение

    (3.96)

сопрягает поскольку выполняется

Таким образом, индуцирует хаотическое поведение у отображения

Мы можем утверждать даже больше, а именно справедливость такого факта: инвариантные плотности двух топологически сопряженных отображений связаны соотношением

Это можно проверить непосредственно, показав, что плотность инвариантна относительно ; действительно,

Рис. 35. Инвариантная плотность для

Рис. 36. а — Бифуркации при сопоставляются со слиянием хаотических областей при рядом с хаотическими областями условно показаны соответствующие инвариантные плотности (см. рис. 35). Заметим, что вдоль оси абсцисс масштаб нелинейный. (Grossmann, Thomae, 1977); б — длины хаотических интервалов снова связаны законом функциональной композиции и поэтому величины имеют скейлинг

Здесь мы воспользовались инвариантностью относительно . Подставляя в , а в качестве используя выражение из (3.96), получаем, что плотность имеет вид

(рис. 35).

Этот результат показывает, во-первых, что отображение действительно становится эргодическим при (поскольку принадлежат одному и тому же классу) и, во-вторых, что инвариантная плотность чисто хаотического отображения — это не обязательно примитивная константа.

Рис. 36 дает основание утверждать, что значения параметра для обратного каскада бифуркаций (т. е. те значения, при которых хаотический режим, занимавший при весь интервал [0, 1], разбивается на все более мелкие подынтервалы конце концов сливается с аттрактором Фейгенбаума) вновь подчиняются закону функциональной композиции.