Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
3.3. Самоподобие, универсальный спектр мощности и влияние внешнего шумаВ этом разделе мы вычислим расстояния между элементами Спектр мощности — важная характеристика для описания стохастического движения. Чтобы вычислить его для системы, в которой проявляется фейгенбаумовский переход к хаосу, нам нужно прежде всего определить относительное расположение элементов цикла. Для этого мы отождествляем Самоподобие в расположении элементов цикла. О расположении элементов цикла мы знаем пока лишь то, что, согласно уравнениям (3.3) и (3.14), расстояние
Теперь мы собираемся обобщить эти уравнения. Вычислим для всех
и подсчитаем изменение
Через
поскольку
и величина Рассмотрим теперь значения
которое в силу соотношения
принимает вид
Заметим, что при
Для меньших значений
Если ввести новую переменную
Отсюда, в силу известного уже масштабного соотношения (3.54), находим значение а при
С другой стороны, из (3.61) получаем
Здесь мы учли, что
Отсюда, имея в виду (3.64), находим
Это означает, что Более подробные вычисления показывают, что Хаусдорфова размерность. Согласно рис. 27, расстояния между ближайшими точками суперцикла до и после бифуркации находятся в универсальном отношении. Самоподобие такого явления может быть описано с помощью хаусдорфовой размерности аттрактора. Если для того, чтобы покрыть некоторое множество (
Рис. 27. функция
Рис. 28. Хаусдорфова размерность прямой и некоторых типичных самоподобных множеств, так называемых фракталов (Mandelbrot, 1982). Разумеется, ответвления продолжаются до бесконечности. Кривая Коха представляет собой линию бесконечной длины, ограничивающую конечную площадь. причем
то D называется хаусдорфовой размерностью этого множества. Для самоподобных множеств типа тех, что представлены на рис. 28, размерность D можно вычислить по формуле
Заметим, что длина L канторовского множества, изображенного на рис. 28, равна 0. Действительно,
Хаусдорфова размерность D
откуда следует, что
Это значение лишь на 5% отличается от аналитического и численного результата (Grassberger, 1981). Численный результат был получен при помощи покрытия аттрактора достаточно малыми сегментами длины На рис. 29 показана типичная канторовская структура аттрактора. Теперь на основании полученных результатов мы покажем, что после каждого шага бифуркации измеримый спектр мощности изменяется чрезвычайно просто. Спектр мощности. Спектр мощности
Рис. 29. Расположение элементов цикла
Рис. 30. Изменение фурье-компонент в результате бифуркации (схематично). Из периодичности цикла следует, что
т. е. в результате перехода от
Представляя интервал 1, получаем
Амплитуды вновь появившихся четных гармоник
Вычисление нечетных компонент — дело более тонкое, оно требует использования уже полученной нами функции Из (3.77) имеем
и
где
Таким образом, получаем
так как
где соотношение:
окончательно получаем
Таким образом, амплитуды нечетных субгармоник, которые появляются в результате каждой бифуркации, в среднем равны усредненным амплитудам старых нечетных компонент, домноженным на постоянное число Универсальная картина спектра мощности такова:
Схематично она представлена на рис. 30. Такая картина согласуется в разумных пределах с численными результатами, в частности для отображения
Рис. 31. Численно полученный спектр мощности квадратичного отображения. По оси ординат отложен логарифм амплитуды (дБ). Последовательные нечетные субгармоиики отличаются множителем Влияние внешнего шума. В эксперименте не удается наблюдать рассмотренный выше спектр мощности во всех его деталях — мешает внешний шум (рис. 32). Чтобы количественно исследовать (см. скан) Рис. 32. а — Итерации логистического отображения и его показатель Ляпунова б — соответствующие величины при наличии внешнего шума с амплитудой действие возмущений, мы добавим в логистическое уравнение дополнительное слагаемое
и вычислим его влияние на каскад бифуркаций. Предполагается, что случайные величины
(аналогично и их фурье-компоненты распределены по Гауссу) и а определяет интенсивность белого шума. Напомним, что новые Фурье-компоненты конце концов подавит все субгармоники с номерами, превышающими некоторое В действительности значения
Это можно показать следующим образом. Если для значения R, будет достаточно уровня шума
то отсюда будет следовать (3.89). Зависимость (3.89), свидетельствующая об уменьшении Внешний шум, порождающий хаос при
Рис. 33. Подавление периодического режима логистического отображения под действием внешнего шума (Crutchfield, Farmer, Hubermann, 1982).
Рис. 34. Численное определение функции или, что эквивалентно,
где
здесь
т. е. мы получаем знакомое нам уравнение (3.89). Поведение логистического отображения при отображения в области Дальнейшие детали можно найти в литературе к данной главе. Мы покажем лишь, что при
которое, как было установлено в гл. 2, порождает хаотическую последовательность итераций. Два отображения
В нашем случае отображение
сопрягает
Таким образом, Мы можем утверждать даже больше, а именно справедливость такого факта: инвариантные плотности двух топологически сопряженных отображений связаны соотношением
Это можно проверить непосредственно, показав, что плотность
Рис. 35. Инвариантная плотность для
Рис. 36. а — Бифуркации при Здесь мы воспользовались инвариантностью
(рис. 35). Этот результат показывает, во-первых, что отображение Рис. 36 дает основание утверждать, что значения параметра
|
1 |
Оглавление
|