7.1. Квантовое отображение Арнольда

Рассмотрим, как меняется поведение консервативной системы, которая в классическом пределе является полностью хаотической, в случае ненулевых значений постоянной Планка h. Для этого в качестве примера проквантуем модифицированное отображение Арнольда. Отметим, что отображение Арнольда в его обычном виде (6.35) для квантования не подходит, поскольку соответствующий оператор эволюции не сохраняет периодичность волновой функции на торе (Hannay, Berry, 1980).

Напомним сначала, что доступное фазовое пространство классического отображения Арнольда представляет собой единичный тор. Теперь запишем динамические уравнения движения, согласно которым в нашем примере движутся фазовые точки:

В квантовой механике уравнения (7.4) переходят в уравнения Гейзенберга для координаты и импульса определяемых в дискретные моменты времени . Из требования, чтобы фазовое пространство было тором, следует, что квантово-механическая волновая функция должна быть периодической одновременно и в координатном, и в импульсном пространстве. Другими словами, собственные значения операторов и q принимают только дискретные значения, что определяет решетку допустимых значений и q в фазовом пространстве на поверхности тора (рис. 113). Покажем, что единичная ячейка такой решетки является квадратом со стороной, в точности равной постоянной Планка h. Если расстояние между соседними собственными значениями оператора q равно т. е.

то вследствие двойной периодичности волновой функции максимальная величина собственного значения оператора импульса определяется как

Соответственно расстояние между собственными значениями импульса равно

Рис. 113. Разрешенные значения точек фазового пространства для квантового аналога отображения Арнольда (схематически).

Поскольку площадь всего доступного фазового пространства равна единице, имеем

или

Последнее требование делает квантовый аналог отображения Арнольда в какой-то степени малосодержательным. Однако, если мы предположим, что постоянная Планка h является свободным параметром и квантовая модель определена только для уравнение (7.9) можно трактовать таким образом, что, согласно (7.5) и (7.7), в квантовой механике значения могут быть только рациональными. Но это означает, что точки с иррациональным отношением которые как раз и определяют хаотические траектории в классическом отображении Арнольда, в квантовой механике запрещены. Поэтому естественно ожидать, что квантовый аналог отображения Арнольда не может описывать хаотическое движение.

В работе (Наппау, Berry, 1980) было показано, что временная эволюция оператора U для квантового отображения Арнольда является периодической (для любого N существует такое , что с дискретным спектром собственных значений. Поэтому все ожидаемые значения для отображения Арнольда являются периодическими функциями времени. Другими словами, конечное значение постоянной Планка и двойные периодические условия ограничивают собственные значения оператора эволюции в квантовом отображении Арнольда таким образом, что хаотическое движение становится невозможным.