Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
7.1. Квантовое отображение АрнольдаРассмотрим, как меняется поведение консервативной системы, которая в классическом пределе является полностью хаотической, в случае ненулевых значений постоянной Планка h. Для этого в качестве примера проквантуем модифицированное отображение Арнольда. Отметим, что отображение Арнольда в его обычном виде (6.35) для квантования не подходит, поскольку соответствующий оператор эволюции не сохраняет периодичность волновой функции на торе (Hannay, Berry, 1980). Напомним сначала, что доступное фазовое пространство классического отображения Арнольда представляет собой единичный тор. Теперь запишем динамические уравнения движения, согласно которым в нашем примере движутся фазовые точки:
В квантовой механике уравнения (7.4) переходят в уравнения Гейзенберга для координаты и импульса
то вследствие двойной периодичности волновой функции максимальная величина собственного значения оператора импульса определяется как
Соответственно расстояние между собственными значениями импульса
Рис. 113. Разрешенные значения точек фазового пространства для квантового аналога отображения Арнольда (схематически). Поскольку площадь всего доступного фазового пространства равна единице, имеем
или
Последнее требование делает квантовый аналог отображения Арнольда в какой-то степени малосодержательным. Однако, если мы предположим, что постоянная Планка h является свободным параметром и квантовая модель определена только для В работе (Наппау, Berry, 1980) было показано, что временная эволюция оператора U для квантового отображения Арнольда является периодической (для любого N существует такое
|
1 |
Оглавление
|