5. Странные аттракторы в диссипативных динамических системах

В разд. 5.1 этой главы будет показано, что нелинейные диссипативные динамические системы естественно приводят к понятию странного аттрактора. Затем (разд. 5.2) вводится колмогоровская энтропия как функциональная мера хаотического движения, после чего (разд. 5.3) рассматривается задача о количестве информации, которую можно получить по измеренному случайному сигналу.

В разд. 5.4 обсуждается возникновение странного аттрактора в модели Рюэля — Такенса — Ньюхауза, описывающей переход к турбулентности (во времени) и приводятся некоторые экспериментальные подтверждения этой модели. Следующий раздел содержит ренормгрупповое толкование этой модели перехода к хаосу. Глава заканчивается критическим обзором различных сценариев перехода и набором рисунков странных аттракторов и их фрактальных границ.

5.1. Введение и определение странных аттракторов

В этом разделе мы рассмотрим диссипативные системы, описываемые потоками или отображениями. Рассмотрим вначале диссипативные потоки, описываемые автономной системой дифференциальных уравнений первого порядка:

Здесь термин «диссипативный» означает, что произвольно выбранный в фазовом пространстве элементарный объем V, ограниченный поверхностью S, сжимается. Поверхность S эволюционирует так, что каждая ее точка движется по траектории, определяемой (5.1). Отсюда по теореме о дивергенции:

и тогда по определению диссипативными являются системы с

Примером потока этого типа является модель Лоренца:

для которой из

т. е. элементарный объем сжимается экспоненциально во времени

Если рассматривать траекторию, порождаемую уравнениями модели Лоренца при (рис. 58), оказывается, что а) она притягивается к ограниченной области в фазовом пространстве; б) движение ее блуждающее, т. е. траектория делает один виток направо, затем несколько витков налево, затем направо траектория очень чувствительна к малым изменениям начальных условий, т. е. если вместо условий (0; 0,01; 0) взять близкие условия, то новое решение вскоре отклонится от прежнего и число витков будет другим. На рис. 59 представлен график зависимости максимума переменной от Результирующее отображение является приблизительно треугольным, что соответствует, согласно гл. 2, хаотической последовательности

Рис. 58. Аттрактор Лоренца, вычисленный на ЭВМ (Lanford, 1977).

Рис. 59. Последовательные максимумы переменной Z аттрактора Лоренца (Lorenz, 1963).

Подведем итог: траектория чувствительна к изменениям начальных условий; хаотична; притягивается к ограниченной области в фазовом пространстве; объем этой области (согласно (5.4)) стремится к нулю. Это означает, что поток трехмерной системы Лоренца порождает множество точек, размерность которого меньше 3, т. е. его объем в трехмерном пространстве равен 0. На первый взгляд можно было бы присвоить ему следующую целую, но меньшую размерность — 2. Однако это противоречит теореме Пуанкаре — Бендикссона, утверждающей, что в ограниченной области двумерного пространства хаотический поток не может существовать. Сошлемся, например, на строгое доказательство этой теоремы в монографии (Hirsch, Smale, 1965). Рис. 60 показывает, что непрерывность линий тока и тот факт, что линия тока делит плоскость на две части, ограничивают траекторию так сильно, что единственно возможными аттракторами в ограниченной области являются предельные циклы и неподвижные точки. Разрешение этой проблемы заключается в том, что множество точек, к которому притягивается траектория в системе Лоренца (так называемый аттрактор Лоренца), имеет хаусдорфову размерность не целую, а между 2 и 3 (точное значение Это, естественно, приводит к понятию странного аттрактора, который появляется в разнообразных физических нелинейных системах.

Странный аттрактор обладает следующими свойствами (формальное определение можно найти в обзорных статьях (Eckmann, 1981; Ruelle, 1980):

а) он является аттрактором, т. е. занимает ограниченную область фазового пространства к которой по истечении большого

Рис. 60. Самозахват линии тока в ограниченной области на плоскости. Экспоненциальное разбегание траекторий противоречит непрерывности (отметим противоположные направления стрелок).

интервала времени притягиваются все достаточно близкие траектории из так называемой области притяжения. Отметим, что область притяжения может иметь очень сложную структуру (см. рис. разд. 5.7). Кроме того, сам аттрактор состоит как бы из одной траектории, т. е. траектория с течением времени должна пройти через каждую точку аттрактора. Набор изолированных неподвижных точек не является единым аттрактором;

б) свойство, делающее аттрактор странным, — чувствительность к начальным условиям, т. е., несмотря на сжатие в объеме, не происходит сокращения длин во всех направлениях и расстояния между первоначально сколь угодно близкими точками на аттракторе через достаточно большое время становятся конечными. Как будет показано в следующем разделе, это приводит к положительной колмогоровской энтропии;

в) чтобы описывать физическую систему, аттрактор должен быть структурно устойчивьм и типичным. Другими словами, малые изменения параметра в F (см. (5.1)) изменяют структуру аттрактора непрерывным образом (далее мы будем характеризовать структуру более детально; сейчас имеем в виду, например, хаусдорфову размерность аттрактора) и множество параметров, для которых (5.1) порождает странный аттрактор, не должно быть множеством меры 0 — иначе аттрактор не является типичным и физически значимым.

Все обнаруженные к настоящему времени странные аттракторы имеют дробную хаусдорфову размерность. Так как не существует общепринятого формального определения странного аттрактора (Ruelle, 1980; Mandelbrot, 1982), пока не ясно, всегда ли дробность хаусдорфовой размерности следует из свойств «а» - «в» или необходима дополнительно для странного аттрактора.

Обычно странный аттрактор возникает, когда фазовый поток сжимает элементарный объем в одних направлениях и растягивает его в других. Чтобы оставаться в ограниченной области, элементарный объем одновременно складывается. Этот процесс растяжения и складывания порождает хаотическое движение траектории на странном аттракторе подобно тому, как это было в случае кусочно-линейных отображений (гл. 2).

Так как вышеприведенное определение описывает свойства множества точек, понятие странного аттрактора не ограничено потоками: диссипативные отображения также могут порождать странные аттракторы. Отображение

называется диссипативным, если оно приводит к сжатию объема в фазовом пространстве, т. е. если модуль якобиана J, на который умножается элементарный объем после итерации, меньше 1:

Теорема Пуанкаре — Бендикссона, которая ограничивает размерность порожденных потоками странных аттракторов величинами, большими двух, несправедлива для отображений. Это связано с тем, что отображения порождают дискретные точки и снимаются ограничения, связанные с непрерывностью. Таким образом, диссипативные отображения могут приводить к странным аттракторам, размерность которых меньше 2.

Рассмотрим для иллюстрации два примера, которые из-за меньшей размерности проще представить визуально, чем аттрактор Лоренца.

Преобразование пекаря. На рис. 61 показаны обычное преобразование пекаря — отображение, сохраняющее площадь (напоминает действия пекаря, который раскатывает тесто) и не сохраняющее площадь диссипативное преобразование пекаря. Математическое

Рис. 61. а — Преобразование пекаря; б — диссипативное преобразование пекаря.

выражение для последнего

где а < 1. Первое уравнение (5.7а) хорошо знакомо нам по гл. 2 — это -преобразование, приводящее к сдвигу Бернулли. Его ляпуновский показатель (по х) что приводит к чувствительности к начальным условиям; объект, получающийся путем многократного воздействия этого отображения на единичный квадрат, является странным аттрактором. Этот аттрактор — бесконечная последовательность горизонтальных линий и ее область притяжения включает все точки единичного квадрата. Показатель Ляпунова в направлении и в этом направлении масштабы сокращаются таким образом, что общий результат (растяжения по и сжатия по ) — это уменьшение объема, необходимое для диссипативного отображения.

Хаусдорфову размерность DB странного аттрактора можно вычислить следующим образом. В направлении аттрактор просто одномерный (как и отображение ) в гл. 2). Хаусдорфова размерность в направлении у следует из определения

и из самоподобия аттрактора по вертикали (рис. 61, б). Это дает

и окончательно

Диссипативное отображение хенона. Это двумерный аналог логистического отображения (Нёпоп, 1976). Напомним его выражение из гл. 1:

    (5.11 а)

Это отображение со сжатием площади, т. е. диссипативное при

Рис. 62. Разложение на этапы воздействия на эллипс отображения Хенона

так как его якобиан

Действие отображения изображено на рис. 62.

Исследуем теперь итерации этого отображения, например, при На рис. 63, а показан результат итераций с числом шагов 104 и цифрами представлена динамика точки на аттракторе, который выглядит, как очень запутанная кривая. На рис. 63, б, в показаны подробно области внутри прямоугольника, изображенного на предыдущем рисунке, проявляющие самоподобную

Рис. 63. а — Изображение аттрактора Хенона, построенное по 104 точек. Несколько последовательных точек пронумерованы для иллюстрации блуждающего движения на аттракторе; б, в — увеличенные изображения квадратиков с предыдущих рисунков; г — высота каждого столбика — относительная вероятность обнаружения точки в одном из шести листков предыдущего рисунка (Farmer, 1982а, b).

структуру аттрактора. Хаусдорфова размерность аттрактора Хенона!) при . Этот результат получен путем наложения квадратной сетки с ячейкой на плоскость отображения и подсчета числа квадратов, занятых точками и вычислением!) Если на рис. 63, в разрешение позволяет видеть шесть «листков», то относительная вероятность для каждого листка может быть оценена простым подсчетом числа точек на нем. Высота каждого столбика на рис. 63, г — относительная вероятность, а ширина — толщина соответствующего листка.

Различные высоты столбиков на рис. 63, г показывают, что аттрактор Хенона неоднороден. Эта неоднородность не может быть описана одной хаусдорфовой размерностью, поэтому в дальнейшем мы введем бесконечное множество размерностей, характеризующих статическую структуру (т. е. распределение точек)

аттрактора. Однако, прежде чем это сделать, полезно обсудить колмогоровскую энтропию, которая описывает динамическое поведение на странном аттракторе.