Главная > Детерминированный хаос: Введение
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

4. Ренормализация одномерной модели Изинга

Функциональная ренормгруппа, используемая в этой книге, построена по аналогии с ренормгрупповым методом для критических явлений (который проще, чем функциональный метод ренормализации). Этот метод изложен в данном разделе на примере одномерной модели Изинга. Хотя одномерная модель Изинга обладает рядом странных свойств (ее температура перехода равна 0 и т. д.), этот недостаток уравновешивается тем, что за каждым шагом ренормализации можно проследить в явном виде. Предполагается, что читатель знаком с обычным точным решением этой модели, которое можно найти в любом учебнике по статистической механике.

Функция распределения одномерной модели Изинга имеет хорошо известный вид

где отношение константы связи J к температуре Т, спиновые переменные принимают значения а состояния

Шаги ренормализации представлены на рис. 121.

Вначале мы просуммируем в по всем спиновым переменным с нечетными i. Затем переобозначим оставшиеся переменные с четными i по правилу

(в нашем простом случае но уже для двумерной модели Изинга необходимо На рис. 121 показано, что система оставшихся спинов имеет тот же вид, что и раньше; изменились лишь два фактора: все длины сократились вдвое, а связь между оставшимися спинами ренормализуется При температуре перехода длина корреляции бесконечна и спиновый «узор» самоподобен для всех масштабов длин, т. е. повторное применение процедуры ренормализации всегда приводит к одним и тем же результатам.

Чтобы представить эти этапы в явном виде, рассмотрим типичную сумму по нечетной переменной в

или

где

Рис. 121. Последовательность шагов ренормализации одномерной модели Изинга: а — спииы с нечетными индексами складываются и удаляются; б — длина корреляции в ренормализованной системе уменьшается.

Уравнение получено сравнением правых частей с учетом того, что принимают лишь значения

На следующем этапе мы перенумеруем спины в соответствии с и получим ренормализованную переменную

(постоянную с далее учитывать не будем, так как она сокращается при вычислении всех термодинамических средних). Связь между оставшимися спинами в соответствии с

Повторное применение этой процедуры дает

Последнее равенство означает, что две последовательные ренормализации эквивалентны одной, при которой оставляется лишь каждый четвертый спин, т. е. ренормгрупповые операторы R образуют полугруппу («полу» здесь означает отсутствие обратного элемента). Неподвижные точки

т. е. они появляются при нулевой температуре (температуре перехода для одномерной модели Изинга) и при бесконечной температуре. В обоих пределах рисунок спинов самоподобен (при спиновая система совершенно неупорядочена, а при все спины выстроены в ряд). При система всегда приводится (повторными применениями к устойчивой неподвижной точке

Так как корреляционная длина сокращается вдвое на каждом шаге ренормализации, можно сразу определить зависимость от температуры через следующие масштабные коэффициенты:

При переменную можно выбрать так, что

Последнее соотношение можно проверить прямым вычислением корреляционной функции

где использованы обозначейия

Отметим, что при исследовании более сложных систем (например, двух- или трехмерной модели Изинга) уничтожение спиновых переменных на каждом шаге ренормализации приводит к появлению связей с ближайшими соседями и связей высших порядков (между спинами), и искусство ренормализации состоит в том, чтобы проследить за ними.

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru