4. Ренормализация одномерной модели Изинга

Функциональная ренормгруппа, используемая в этой книге, построена по аналогии с ренормгрупповым методом для критических явлений (который проще, чем функциональный метод ренормализации). Этот метод изложен в данном разделе на примере одномерной модели Изинга. Хотя одномерная модель Изинга обладает рядом странных свойств (ее температура перехода равна 0 и т. д.), этот недостаток уравновешивается тем, что за каждым шагом ренормализации можно проследить в явном виде. Предполагается, что читатель знаком с обычным точным решением этой модели, которое можно найти в любом учебнике по статистической механике.

Функция распределения одномерной модели Изинга имеет хорошо известный вид

где отношение константы связи J к температуре Т, спиновые переменные принимают значения а состояния

Шаги ренормализации представлены на рис. 121.

Вначале мы просуммируем в по всем спиновым переменным с нечетными i. Затем переобозначим оставшиеся переменные с четными i по правилу

(в нашем простом случае но уже для двумерной модели Изинга необходимо На рис. 121 показано, что система оставшихся спинов имеет тот же вид, что и раньше; изменились лишь два фактора: все длины сократились вдвое, а связь между оставшимися спинами ренормализуется При температуре перехода длина корреляции бесконечна и спиновый «узор» самоподобен для всех масштабов длин, т. е. повторное применение процедуры ренормализации всегда приводит к одним и тем же результатам.

Чтобы представить эти этапы в явном виде, рассмотрим типичную сумму по нечетной переменной в

или

где

Рис. 121. Последовательность шагов ренормализации одномерной модели Изинга: а — спииы с нечетными индексами складываются и удаляются; б — длина корреляции в ренормализованной системе уменьшается.

Уравнение получено сравнением правых частей с учетом того, что принимают лишь значения

На следующем этапе мы перенумеруем спины в соответствии с и получим ренормализованную переменную

(постоянную с далее учитывать не будем, так как она сокращается при вычислении всех термодинамических средних). Связь между оставшимися спинами в соответствии с

Повторное применение этой процедуры дает

Последнее равенство означает, что две последовательные ренормализации эквивалентны одной, при которой оставляется лишь каждый четвертый спин, т. е. ренормгрупповые операторы R образуют полугруппу («полу» здесь означает отсутствие обратного элемента). Неподвижные точки

т. е. они появляются при нулевой температуре (температуре перехода для одномерной модели Изинга) и при бесконечной температуре. В обоих пределах рисунок спинов самоподобен (при спиновая система совершенно неупорядочена, а при все спины выстроены в ряд). При система всегда приводится (повторными применениями к устойчивой неподвижной точке

Так как корреляционная длина сокращается вдвое на каждом шаге ренормализации, можно сразу определить зависимость от температуры через следующие масштабные коэффициенты:

При переменную можно выбрать так, что

Последнее соотношение можно проверить прямым вычислением корреляционной функции

где использованы обозначейия

Отметим, что при исследовании более сложных систем (например, двух- или трехмерной модели Изинга) уничтожение спиновых переменных на каждом шаге ренормализации приводит к появлению связей с ближайшими соседями и связей высших порядков (между спинами), и искусство ренормализации состоит в том, чтобы проследить за ними.