6.1. Сосуществование областей с регулярным и нерегулярным движением

Сначала остановим наше внимание на интегрируемых системах, а затем рассмотрим, к чему приведет добавка малого неинтегрируемого возмущения.

Интегрируемые системы. Гамильтониан называется интегрируемым, если существует такое каноническое преобразование к новым переменным в,

при переходе к которым гамильтониан будет зависеть только от новых переменных действий J. При этом функция является решением уравнения Гамильтона — Якоби (см., например, (Арнольд, 1974)):

а уравнения движения, имеющие в переменных действие — угол J, в вид

могут быть легко проинтегрированы:

В качестве наиболее простого примера интегрируемых систем рассмотрим гармонический осциллятор с гамильтонианом

Переходя к уравнению Гамильтона — Якоби (6.4):

можно найти действие

Здесь интегрирование ведется по периоду изменения переменной q. Уравнения движения в переменных действие — угол в этом случае имеют вид

    (6.13 а)

Возвращаясь к переменным получаем

Траектория такого движения в фазовом пространстве имеет форму эллипса, который с помощью соответствующего преобразования к полярным координатам и в переходит в окружность. Сравнение выражений и (6.13) показывает, что в переменных действие — угол уравнения движения любой интегрируемой системы с степенями свободы имеют практически такой же вид, как для несвязанных гармонических осцилляторов. Единственное отличие состоит в том, что в общем случае интегрируемой системы частоты - являются функциями переменных действия в то время как для гармонических осцилляторов , от У, не зависит. Существование интегралов движения означает, что в -мерном фазовом пространстве интегрируемой системы траектория принадлежит -мерному множеству, которое по аналогии с окружностью для одного гармонического осциллятора и с тором для двух осцилляторов имеет топологию -мерного тора.

В дальнейшем будем рассматривать только случай с хотя большинство результатов можно легко обобщить на произвольное

Рис. 92. Тор в фазовом пространстве.

число степеней свободы. На рис. 92 показано движение на торе интегрируемой системы с двумя степенями свободы (четырехмерное фазовое пространство). В случае рационального отношения частот

все траектории оказываются замкнутыми. Если же отношение частот равно иррациональному числу, траектория никогда не замкнется, но с течением времени будет сколь угодно близко подходить к любой точке двумерного множества. Другими словами, движение на торе будет эргодическим. (Заметим, что размерность тора равна 2, тогда как размерность множества, определяемого соотношением , равна 3.)

Теория возмущений и малые знаменатели. Добавим теперь к невозмущенному гамильтониану возмущение и посмотрим, как это повлияет на движение, которое при было регулярным. Для этого представим Н, в переменных действие — угол невозмущенной системы

и попытаемся решить уравнение Гамильтона — Якоби

Записывая производящую функцию S в виде

и разлагая Н в ряд по степеням , получаем

Функция S, определяется из условия независимости левой части (6.21) от :

где через обозначены частоты невозмущенной системы. Уравнение (6.21) может быть решено следующим образом. Запишем фурье-разложения для функций пользуясь их периодичностью по переменным в:

    (6.23 а)

где — целые числа.

Подставив оба выражения в (6.22) и приравняв коэффициенты при одинаковых гармониках ряда Фурье, в итоге получим

Из уравнения (6.24) следует, что S обращается в бесконечность при условии

Расходимость ряда в (6.24) приводит нас к хорошо известной проблеме малых знаменателей. Видно, что при рациональном отношении частот систему нельзя проинтегрировать с помощью теории возмущений. Причина этого — сильные резонансы в системе. Если интегрирование системы и возможно, то лишь при иррациональном отношении частот и сходимости рядов теории возмущения по параметру е.

Далее рассмотрим два вопроса:

1) что происходит, когда возмущение действует на интегрируемую

систему с отношением частот близким к иррациональному значению?

2) что происходит под действием возмущения с торами системы, в которой отношение рациональное?

Устойчивые торы и теорема КАМ. На первый вопрос можно ответить с помощью знаменитой теоремы Колмогорова (1954), Арнольда (1963) и Мозера (Moser, 1967), известной под названием теоремы КАМ, которую мы приведем здесь для случая без доказательства. (В общем случае доказательство изложено в цитируемой выше литературе.) Согласно этой теореме, при якобиане частот, не равном нулю:

    (6.26)

(здесь мы опускаем другие технические условия), торы, для которых отношение частот является достаточно хорошим иррациональным числом, т. е.

где — взаимно простые числа, под действием малого возмущения остаются устойчивыми.

Важно отметить, что множество значений частот, удовлетворяющих условию (6.27), для которых движение регулярно даже при наличии возмущения, имеет ненулевую меру. Это следует из того, что полная длина L всех интервалов, для которых условие (6.27) на отрезке не выполняется, при стремится к нулю согласно оценке

Здесь отношение взято в качестве длины интервала вблизи рационального числа , где условие (6.27) неприменимо, a s обозначает число значений величины при (рис. 93).

Из (6.28) следует, что множество отношений частот, для которых под действием возмущения исходное движение на торе

Рис. 93. Интервалы длиной к даюшие вклад в

меняется слабо и переходит в движение на деформированном торе, имеет конечную меру, равную Однако это множество имеет «дырки» на оси вблизи каждого рационального значения

При достаточно большом возмущение разрушает все торы. При этом с увеличением возмущения последним разрушается КАМ-тор с «наиболее иррациональным» соотношением частот (см. разд. 5.4-5.5). Разрушение этого тора в некотором смысле аналогично механизму Рюэля — Такенса возникновения хаоса в диссипативных системах. Действительно, Шенкер и Каданов (Shenker, Kadanoff, 1982), а также Маккей (McKay, 1983), изучая бездиссипативное отображение кольца в себя (5.56), нашли, что последняя КАМ-траектория разрушается универсальным образом в соответствии с законами самоподобия.

Неустойчивые торы и теорема Пуанкаре — Биркгофа. Перейдем теперь к рациональным значениям Покажем, что в этом случае исходные торы расщепляются на все меньшие и меньшие торы. Согласно теореме КАМ, некоторые из этих возникших торов оказываются также устойчивыми. Однако движение между устойчивыми торами полностью нерегулярно.

Влияние возмущения на невозмущенное движение удобно исследовать с помощью отображения Пуанкаре, которое в общем случае определяется пересечением траектории с какой-либо гиперповерхностью в фазовом пространстве. Для нашего случая в качестве такой поверхности возьмем плоскость S переменных (рис. 94). Тогда пересечение траектории с плоскостью S определит нам сохраняющее площадь двумерное отображение

Рис. 94. Отображение Пуанкаре в плоскости для траекторий на торе.

Его легко получить в отсутствие возмущения, используя тот факт, что траектория в фазовом пространстве пересекает сечение S через период в течение которого в меняется на величину соотношение частот зависит только от радиуса:

поэтому отображение можно записать в виде

Это так называемое отображение поворота (Moser, 1973).

Отметим, что при рациональном отношении частот каждая точка на окружности является неподвижной точкой преобразования так как

Теперь, если учесть возмущение отображение поворота примет вид

и g зависят от Из теоремы Лиувилля, справедливой также и для гамильтониана следует, что отображение сохраняет площадь.

Что же можно сказать о неподвижных точках отображения Те Рассмотрим окружности вместе с расположенной между ними окружностью С, на которой Поскольку на окружности на окружности то под действием отображения точки на окружности движутся против часовой стрелки, на окружности — по часовой стрелке, в то время как

Рис. 95. Действие отображений на кривые

на окружности С точки неподвижны (рис. 95). Для достаточно малого эти относительные повороты в разные стороны сохраняются и для возмущенного отображения Поэтому на каком-то расстоянии от центра должна быть точка, угловая переменная которой не меняется при отображении Такие точки, которые под действием отображения смещаются только по радиусу, образуют кривую расположенную вблизи окружности С. На рис. 96 показана такая кривая а также ее образ пересекающий в некоторых точках. Число точек пересечения должно быть четным, поскольку площади, охватываемые кривыми RE и равны.

Точки, общие для — неподвижные точки отображения и из рис. 97 видно, что они образуют чередующуюся последовательность эллиптических и гиперболических точек. Это означает, что исходный тор с рациональным отношением частот под действием возмущения разрушается лишь частично, оставаясь неразрушенным в четном числе неподвижных точек (теорема Пуанкаре — Биркгофа (Birkhoff, 1935).

Рассмотрим вначале эллиптические неподвижные точки вместе с точками, вращающимися вокруг них (рис. 90, 97). Все эти точки

Рис. 96. Кривая R точек, смещающихся только по радиусу, и ее образ

Рис. 97. Чередование гиперболических и эллиптических неподвижных точек отображения

Рис. 98. Торы с рациональным отношением частот распадаются на все меньшие и меньшие торы; расположение вновь возникающих эллиптических и гиперболических неподвижных точек обнаруживает самоподобие.

также можно рассматривать как пересечения с плоскостью Пуанкаре траекторий, принадлежащих более мелким торам. К этим торам также можно применить все вышеприведенные рассуждения. Именно: некоторые из этих мелких торов (согласно теореме КАМ) устойчивы, в то время как другие расщепляются на еще меньшие (в соответствии с теоремой Пуанкаре — Биркгофа). Все это, как видно из рис. 98, приводит к повторению структуры на все более мелких масштабах (самоподобие).

Гомоклинические точки и хаос. Какова же роль гиперболических неподвижных точек в возникновении хаоса? На рис. 99 показано, что в окрестности любой такой точки Н траектории расходятся и движение становится неустойчивым, тогда как в окрестности эллиптических неподвижных точек происходит устойчивое вращательное движение.

Устойчивые и неустойчивые кривые, которые подходят к точке Н или удаляются от нее, ведут себя в высшей степени нерегулярным образом. Причина этого связана с тем, что указанные кривые не могут пересекать сами себя (иначе для каких-то точек фазового пространства нарушится единственность решения). В

Рис. 99. Гиперболическая неподвижная точка с устойчивыми и неустойчивыми кривыми.

Рис. 100. Гомоклинические точки HQ как результат пересечения .

то же время неустойчивая кривая может пресечь в так называемой гомоклинической точке (рис. 100). Но, поскольку отображение непрерывно в плоскости Пуанкаре, а гомоклиническая точка не является неподвижной, при повторении отображения образуются новые гомоклинические точки. Более того, чтобы приблизиться к гиперболической неподвижной точке Н, перемещаясь вдоль кривой нужно повторить Т). бесконечное число раз (приложение 7). Именно поэтому между каждой гомоклинической точкой и точкой Н имеется бесконечное число других гомоклинических точек, и в результате образуется чрезвычайно сложная сетка кривых

Подведем итоги. Возьмем интегрируемую систему с регулярными траекториями, лежащими в фазовом пространстве на торе, и добавим неинтегрируемое возмущение. Тогда в зависимости от начальных условий (различные J, 5 в (6.7) приводят к разным значениям поскольку движение может быть либо регулярным, либо нерегулярным. И хотя, согласно теореме КАМ, мера начальных условий с регулярным движением не равна нулю, при любом рациональном отношении размеры образующихся устойчивых торов все более и более уменьшаются. Между этими торами возникают неподвижные гиперболические точки и, как следствие, нерегулярные траектории. Следовательно, любое малое изменение начальных условий приводит к совершенно различному поведению системы на больших временах. Схематически такая сложность движения в фазовом пространстве показана на рис. 101, из которого видно, что в консервативных системах регулярное и нерегулярное движения в общем случае тесно переплетены между собой.

В заключение отметим, что для отображений, сохраняющих площадь, также имеет место удвоение периода, т. е. последовательное

Рис. 101. Регулярное и нерегулярное движение в фазовом пространстве неинтегрируемой системы.

тельное появление новых пар эллиптических неподвижных точек (Greene et al, 1981). Это явление рассмотрено в приложении 7, где, в частности, показано, что значения соответствующих констант Фейгенбаума отличаются (в ббльшую сторону) от значений для диссипативных систем.

Диффузия Арнольда. Выше мы рассматривали системы с двумя степенями свободы, для которых размерность поверхности постоянной энергии SE равна 3 и двумерные торы полностью делят доступное фазовое пространство. Поэтому нерегулярные траектории, заполняющие область разрушенных «рациональных» торов, как бы зажаты между «иррациональными» торами. Тем самым области с нерегулярными траекториями изолированы друг от друга, несмотря на то что их размерность также равна 3 (рис. 102).

Однако, если число степеней свободы больше 2, торы уже не делят поверхность SE. Например, для трех степеней свободы размерность торов равна 3, в то время как размерность энергетической поверхности равна 5. В результате «остаток» образует одну связную область и, как следствие, для нерегулярной траектории может возникнуть так называемая диффузия Арнольда (Арнольд, 1964). Поэтому в системах с числом степеней свободы существование инвариантных торов для возмущенного движения еще не является гарантией его устойчивости в целом. Это видно из того, что нерегулярные траектории могут блуждать по всему фазовому пространству и подходить сколь угодно близко к любому тору (рис. 103).

Рис. 102. Глобальная устойчивость нерегулярных траекторий вследствие устойчивых КАМ-торов для системы с двумя степенями свободы.

Рис. 103. Диффузия Арнольда для гамильтоновых систем с числом степеней свободы, большим 2 (схематически).

Примеры хаотического движения в классической механике. Теперь приведем некоторые экспериментальные подтверждения сосуществования регулярного и нерегулярного движения. На рис. 104 показано сечение Пуанкаре S для неинтегрируемой системы Хенона — Хейлеса (Henon, Heiles, 1964):

Интегрируемая часть гамильтониана представляет собой два гармонических осциллятора, а неинтегрируемая — нелинейное взаимодействие между ними (кубические члены в (6.34)). На левой половине рисунка изображены траектории для различных значений энергии, полученные по теории возмущения с точностью до восьмого порядка (Gustavson, 1966). На правой стороне — численные данные пересечения траекторий системы (6.34) с плоскостью S. Видно, что

Рис. 104. Отображение Пуанкаре для системы Хенона — Хейлеса (Berry, 1978).

при энергиях Е, равных 1/24 и 1/12, оба метода дают примерно одинаковый результат: плоскость S заполнена регулярными траекториями, которые представляют собой следы пересечения этой плоскости с деформированными торами. При энергиях, превышающих большинство торов (хотя и не все) оказываются разрушенными. При этом все точки, которые кажутся разбросанными случайным образом, получены при пересечении плоскости S одной-единственной траекторией. Приведенные на рисунке данные для четко указывают на одновременное существование областей с регулярным и нерегулярным движением.

В качестве следующего примера рассмотрим движение астероида вокруг Солнца с учетом возмущения со стороны Юпитера (рис. 105). Эта задача трех тел является неинтегрируемой, и, согласно уравнениям можно ожидать, что движение астероида становится неустойчивым, когда отношение невозмущенной частоты обращения астероида к угловой частоте , Юпитера равно рациональному числу. Действительно, в распределении астероидов по частотам (рис. 106) видны провалы как раз для рациональных значений . В то же время существование устойчивых орбит астероидов () можно рассматривать как подтверждение теоремы КАМ.

Другой вид распределения с провалами наблюдается в кольцах Сатурна. В этой системе Сатурн является притягивающим центром для частиц в кольце, а возмущением служит любой из его спутников. Основной резонанс, называемый сечением Кассини, можно увидеть на фото 7 на с.

Рис. 105 Возмущение Юпитером движения астероида.

Рис. 106. Распределение астероидов в поясе между Марсом и Юпитером как функция (Berry, 1978).