5.5. Универсальные свойства перехода от квазипериодичности к хаосу

Некоторые аспекты модели Рюэля — Такенса — Ньюхауза можно также исследовать в рамках ренормгруппового подхода. Два коллектива исследователей (Feigenbaum, Kadanoff, Shenker, 1982; Rand et al., 1982) по существу независимо рассмотрели вопрос о том, как квазипериодическое движение с двумя несоизмеримыми частотами на торе (рис. 78) становится «складчатым» при добавлении нелинейного возмущения.

Рис. 78 показывает, что движение на невозмущенном единичном торе можно описать в полярных координатах простым отображением Пуанкаре:

где — число вращения, показывающее сдвиг угла в за одну итерацию.

Обратимся теперь к рис. 77, а, на котором показано, как разрушение тора проявляется на отображении Пуанкаре. Идея, изложенная

Рис. 78. Движение на единичном торе. Для рациональных значений траектория замыкается после q циклов (состояние синхронизации мод). При иррациональном отношении движение квазипериодическое, траектория нигде не замыкается и покрывает весь тор.

в вышеперечисленных работах, состояла в описании этого перехода только по движению углов

Действительно, можно показать, что для сильно диссипативных систем радиальное движение траектории при возникновении хаоса несущественно и может быть устранено в результате ренормализации. Рассмотрим, например, отображение

    (5.56 а)

где также берутся по модулю 1, К представляет по аналогии с числом Рейнольдса степень нелинейности (которая должна вноситься для достижения хаоса), число вращения (см. (5.55)). Тогда для разность между радиусом в момент времени стремится к нулю при Постоянная b — якобиан отображения (5.56), характеризующий степень диссипации (см. (5.66)). Поэтому в дальнейшем мы будем изучать разрушение тора в странный аттрактор с помощью отображения окружности

Далее будет показано, что (по аналогии с логистическим отображением для перехода через удвоение периода) форма почти несущественна; гораздо важнее следующие общие свойства :

— при обратная ей функция) существует и дифференцируема (т. е. — диффеоморфизм);

— при становится недифференцируемой, а при не существует однозначной обратной функции для .

Чтобы наблюдать переход от квазипериодичности к хаосу в (5.56), необходимо варьировать два параметра. Например, если увеличивать нелинейность (К), то необходимо так сбалансировать О, чтобы сохранить число вращения w равным заданному иррациональному числу (это гарантирует квазипериодичность). Как же это сделать для числа вращений, которое, по-прежнему представляя средний сдвиг в за итерацию, для обобщенных отображений должно быть определено как предел:

(где модуль в необходимо опустить)? Можно использовать метод, предложенный в сходной ситуации с гамильтоновыми системами (Greene, 1979). Для фиксированного К вычисляется величина которая а) принадлежит -циклу отображения содержит элемент и в) обеспечивает сдвиг на . Таким образом, генерирующая рациональное число вращения определяется выражением

где индексы К и П показывают, что левая часть остается функцией обеих переменных.

Далее, иррациональное число вращения приближенно оценивается последовательностью усеченных непрерывных дробей, т. е. рациональных чисел. Рассмотрим, например, число вращения представимое непрерывной дробью простого вида

Так называемые числа Фиббоначчи определенные как

для которых

представляют последовательность рациональных сходящихся к

При уравнения (5.62) дают

Это число называют золотым средним, оно определяется в геометрии при золотом сечении отрезка, т. е. при таком его делении, когда отношение большей части ко всей длине отрезка L было равно, отношению меньшей части к большей, т. е.

В дальнейшем мы ограничимся этим особым числом вращения — «наихудшим» иррациональным числом в том смысле, что оно хуже всего может быть приближенно рациональными числами (см. (5.60), (5.62)). Хотя любое заданное иррациональное число имеет единственное представление непрерывными дробями, схемы ренормализации пока удалось применить только к так называемым квадратичным иррациональным числам — решениям квадратного уравнения с целыми коэффициентами, для которых представление непрерывными дробями периодично.

Для отображения окружности (5.56) с использованием вышеописанной процедуры были получены следующие численные результаты (Shenker, 1982):

а) Величины параметров порождающих, согласно (5.59), числа вращения в (5.62), стремятся к некоторой постоянной по закону геометрической прогрессии, т. е.

    (5.65 а)

где

    (5.65 б)

— универсальная константа (зависящая, однако, от

б) Расстояния от до ближайшего элемента цикла,

принадлежащего

таковы, что

    (5.666)

где a — еще одна универсальная константа:

    (5.66 в)

(заметим, что )

в) На рис. 79 показана периодическая функция

описывающая зависимость от времени элементов цикла

для времен в пределе при . (Здесь берется при периодическая функция, так как свойство f (в приводит к ). При переменная и гладко меняется по , но ее поведение становится «неровным» при что свидетельствует о переходе от квазипериодичности к хаосу.

г) На рис. 79 представлен спектр мощности

при при Он демонстрирует самоподобие (структура между любыми соседними пиками одна и та же). Главные пики появляются на частотах, равных степеням чисел Фиббоначчи, показывая, что после итераций движение остается почти периодическим.

Эти результаты (особенно а) и оказываются очень похожими на обнаруженные для сценария удвоения периода, поэтому естественно попытаться осмыслить этот переход в рамках ренормгруппового подхода, удобного для установления универсальных свойств (отметим, что a и b в уравнениях (5.65)-(5.66) отличаются от констант Фейгенбаума).

Чтобы получить соответствующие функциональные уравнения,

(см. скан)

Рис. 79. а) и при (Shenker, 1982); б — отображение (5.57) при есть диффеоморфизм (Jensen et al., 1983а); в) и (/) становится негладкой при (Shenker, 1982); г) отображение (5.57) при становится необратимым, (Jensen et al., 1983a); d) спектр мощности при (Rand et al., 1983). Отметим, что при действительно сходится к функции на так как периодичность и подразумевает, что ее аргументы берутся по модулю 1, а при покрывает интервал [0, 1].

определим функции (см. (5.66 б))

где

так что из (5.66 б)

    (5.72)

Как в случае удвоения периода (см. (3.15)), это уравнение показывает, что последовательность ) сходится к универсальной функции

где вновь — решение уравнения для неподвижной точки, которое мы сейчас построим. Более точно, мы рассматриваем при что соответствует в уравнении (3.21).

Функцию можно получить по правилу, определенному рекуррентным соотношением для чисел Фиббоначчи (5.61) и свойством

Так как итерации коммутативны, получим

В соответствии с (5.74)-(5.75) есть два пути вычисления

и

    (5.766)

Оба уравнения становятся эквивалентными при начальных условиях

В пределе при в (5.76 а) получим для функции неподвижной точки

Можно сразу же проверить, что функция

есть точное решение этого уравнения. Подставляя в (5.78), получим

Это значение а (равное второму решению уравнения (5.64)) согласуется с численным результатом при

Следует ожидать, что при уравнение (5.78) имеет другое решение, так как при этом в модельном уравнении (5.57) отсутствует линейный член:

Если при мы предположим, что

то найденное значение а согласуется с уравнением (5.66в), что доказывает универсальность а при .

По аналогии с переходом через удвоение периода введем величины — собственные значения линеаризованного уравнения неподвижной точки. Эти уравнения несколько более сложны, чем для перехода Фейгенбаума, так как рекуррентные соотношения имеют второй порядок, т. е. для получения необходимы и (подробности см., например, в статье Feigenbaum, Kadanoff, Shenker, 1982).

Другое большое различие между переходом от квазипериодичности к хаосу и другими ранее рассмотренными переходами состоит в том, что для наблюдения универсальных свойств необходимо зафиксировать два параметра (вместо одного). Это, а также тот факт, что разность между тривиальными и нетривиальными значениями а и мала (см. уравнения ), затрудняют экспериментальное подтверждение предсказанных универсальных свойств перехода. Переход от квазипериодичности к хаосу при числе вращения, равном золотому среднему наблюдался тем не менее в спектре мощности для эксперимента Бенара (Fein, Heutmaker, Gollub, 1984). Квазипериодическая конвекция с желаемым отношением частот поддерживалась путем термической модуляции, а зависимость от времени градиента температуры измерялась по отклонению светового пучка, проходящего через ячейку (рис. 80, а).

Чтобы понять наблюдаемый частотный спектр, вспомним более детально спектр для отображения окружности (рис. 79, д). Спектр делится на полосы главными пиками, соответствующими последовательно возрастающим степеням w. Каждая полоса содержит много меньших пиков, и эта внутренняя структура одинакова для каждой полосы в пределе Каждая частота пика в спектре определяется парой целых чисел в том смысле, что т. е. (1,1) соответствует

Рис. 80. а — Ячейка Бенара с дополнительными источниками тепла в боковых стенках, модулирующими конвективный поток выбранной частотой б — спектр мощности отображения окружности (нормированный на ) при числе вращения Главные пики — степени w, а линии в каждой полосе одинаковы в низкочастотном пределе (Rand et al., 1982); в — измеренный спектр мощности (нормированный на ) при (соответствует несколько выше 1). Отношение частоты модуляции к собственной частоте отличается от w на 0,12% (Fein et al., 1984).

согласно (5.64). Пики распадаются на различные последовательности с одинаковыми весами. Для первой последовательности, обозначенной 1 на рис. 80, б, — соседние члены ряда Фиббоначчи . Пики, помеченные, например, цифрами 2, 3, 4, 5, определяются последовательностями Фиббоначчи и т. д.

На рис. 80, в показан экспериментально наблюдаемый спектр мощности. Частота выражается в единицах где — частота в бенаровской ячейке без модуляции. Крутой подъем в спектре наблюдается из-за аппаратурного фона, усиленного фактором Над пиками указана последовательность Фиббоначчи, частью которой они являются. Главные пики наш имеют почти равные мощности (в пределах 20%), тогда как пики наш значительно слабее. Мощности двух пиков последовательности 2 равны с точностью 15%, как и двух пиков последовательности 3. Отношение мощностей пиков (с учетом фактора ) равно тогда как величина, выведенная из теоретического спектра (рис. 80, в), — около 7.

Хотя пики, принадлежащие полосам высших порядков, пропущены в данных (это может быть проявлением недостаточной близости к критическому числу Рэлея, соответствующему эксперимент дает количественное доказательство универсальности скейлинга в переходе от квазипериодической к хаотической конвекции при отношении частот, близком к золотому среднему. Обнаружено также, что такое малое изменение числа вращения, как 0,2%, приводит к синхронизации фаз и качественным изменениям в спектре.