7.3. Квантовый ротатор с периодическими толчками

В гл. 2 мы уже видели, что индикатором хаоса может служить детерминированная диффузия. Поэтому интересно выяснить, имеет ли место такая диффузия в квантовых системах? (Положительный ответ будет означать, что и в квантовой системе возможен хаос.) Сначала мы покажем, как возникает детерминированная диффузия в классической бездиссипативной модели ротатора, находящегося под действием периодических толчков (сила которых достаточно велика), а затем перейдем к исследованию соответствующей квантовой системы.

Согласно (1.20), уравнения движения классического ротатора с периодическими толчками в переменных (в (угол) и (угловой момент)) имеют вид

    (7.11а)

где — потенциал внешней силы. Суммируя выражение (7.11а) по , получаем

где скобки обозначают усреднение по всем начальным точкам

Если корреляции между значениями с ростом быстро убывают, то из (7.12) следует

т. е. имеет место диффузия углового момента ротатора.

Численным путем, например, было показано, что, если взять внешний потенциал в виде в, детерминированная диффузия (для углового момента) возникает выше критического значения (рис. 115).

В качестве другого примера можно привести открытое отображение Арнольда, в котором переменная не ограничена периодическим условием. Такая система может рассматриваться как ротатор с толчками, имеющими потенциал

Рис. 115. Фазовый портрет классического ротатора с толчками для потенциальной функции , полученный путем итерирования уравнений (7.11) с последующим изображением всех точек: а — при еще сохраняется глобальная устойчивость; б — при основные резонансы перекрываются и появляется возможность диффузии углового момента (Chirikov, 1979).

    (7.146)

где все вычисляются по модулю . С учетом такого ограничения на уравнение (7.146) становится похожим на отображение (2.1), описывающее сдвиг Бернулли (дополнительное слагаемоерп в данном случае несущественно, а от можно перейти к поделив на ). Таким образом, при уравнение (7.146) означает хаотичность движения по углу, что в свою очередь, согласно (7.12), ведет к детерминированной диффузии по

Теперь покажем, что в квантовом аналоге ротатора с толчками диффузии нет. Вместо этого либо система находится в квантовом резонансе, когда угловой момент растет квадратично со временем, либо движение почти периодическое, т. е. угловой момент ограничен и многократно сколь угодно близко возвращается к своему начальному значению.

Чтобы понять этот результат, рассмотрим подход, изложенный в работе (Fishman, Grempel, Prange, 1982), и перейдем от отображения, описывающего квантовый ротатор с толчками, к задаче об одномерной локализации электрона, для которой известны некоторые строгие результаты. (Будем при этом следовать В. Эмери (Emery V., частное сообщение).) Перепишем зависящий от времени гамильтониан для ротатора с толчками в следующем виде:

Здесь мы пренебрегли кинетической энергией Т в момент дельта-образного толчка, что соответствует предельному переходу

Оператор эволюции системы от момента времени к моменту т. е. за период действия одного толчка, имеет вид

    (7.16)

а его собственные функции I и собственные значения X находятся из уравнения

С помощью оператора U можно получить временную зависимость

любого состояния

Теперь запишем (7.17) в форме уравнения Шредингера для электрона в одномерном случайном потенциале. С учетом точного выражения (7.16) для U уравнение (7.17) принимает вид

или

где Далее, обозначая имеем

или

откуда можно получить

Таким образом, нам нужно найти решение уравнения

    (7.24)

Из периодических граничных условий следует, что , поэтому можно разложить в ряд Фурье:

Заметим, что функции являются собственными функциями оператора углового момента. Поэтому (7.24) можно записать в виде

где

Уравнение (7.26) известно как уравнение Шредингера для электрона на решетке с потенциалом и недиагональными матричными элементами перехода При этом целочисленные собственные значения углового момента ротатора соответствуют значениям координат на решетке в задаче о проводимости.

Нужно различать два случая.

а) Для рациональных значений где и q — взаимно простые целые числа, электроны, согласно (7.26), движутся свободно в периодическом потенциале и являются полностью делокализованными. Для исходной модели ротатора это означает, что угловой момент неограниченно растет со временем, другими словами, достигаются любые значения m. Более того, квадрат углового момента растет квадратично со временем. Это явление, получившее название квантового резонанса, имеет место для всех рациональных значений ), кроме (Израйлев, Шепелян-ский, 1980). Поясним этот эффект на простейшем примере, когда . В этом случае действие оператора эволюции на любую периодическую функцию имеет вид

Здесь мы воспользовались разложением величины в ряд Фурье:

и поэтому

Теперь для любой периодической волновой функции можно найти ожидаемое значение квадрата углового момента после толчков:

Такой квадратичный рост во времени является чисто квантовым эффектом, поскольку (7.27) справедливо только для целых значений , т. е. для квантованного углового момента (рис. 116).

б) Рассмотрим теперь иррациональные значения В этом случае потенциал вместо периодического становится случайным, поскольку последовательность значений

Рис. 116. Квантовый резонанс, полученный численным путем для ротатора с толчками при (Израйлев, Шепелянскнй, 1980).

имеет свойства датчика случайных чисел. (Заметим, что периодичен с периодом и его аргумент после деления на может быть записан как . Если число записать в двоичном представлении и рассмотреть, например, значения то видно, что последовательность получается из иррационального числа с помощью сдвига Бернулли, т. е. такая последовательность — случайная.)

Интуитивно можно ожидать, что электрон в одномерном случайном потенциале должен быть локализованным, поскольку для него (в отличие от большого числа измерений) имеется только один-единственный путь перейти из одной точки в другую и этот путь может оказаться заблокированным. Действительно, как хорошо известно (Anderson, 1958; Ishii, 1973) (доказательство ни в коей мере не является тривиальным), все электроны в одномерном случайном потенциале (с быстро убывающими матричными элементами перехода) являются локализованными. Физическая причина такого эффекта состоит в том, что случайный потенциал меняет фазу волновой функции в каждой точке, и именно эта случайная дефазировка приводит к локализации.

В итоге положение электрона ограничено конечным интервалом значений и соответственно ограничен рост углового момента ротатора со временем. Другими словами, в отличие от классической системы неограниченная диффузия углового момента квантового ротатора отсутствует. На рис. 117 показана временная зависимость энергии ротатора, возбуждаемого толчками, численно полученная для иррационального значения и малого возмущения V. Можно заметить не только ограниченность амплитуды колебаний, но и их многократную повторяемость.

Как показали Хогг и Хуберман (Hogg, Huberman, 1982), если волновая функция может быть нормирована (т. е. если нет диффузии

Рис. 117. Численные данные для ожидаемого значения энергии (квантовый ротатор с толчками) как функция числа толчков для иррационального значения (Hogg, Hubermann, 1982).

углового момента ротатора), то и волновая функция и энергия сколь угодно близко возвращаются к своему начальному значению бесконечное число раз. Такая временная зависимость называется почти периодической в отличие от квазипериодического движения, обсуждаемого в гл. 5. (Для почти периодической функции существует относительно плотное множество такое, что для любого Множество является относительно плотным, если имеется такое , что каждый интервал длины на действительной оси содержит по крайней мере одно значение .

Судя по всему, до настоящего времени не известны квантовые системы с «настоящим» детерминированным хаосом. В то же время поведение квантовых систем, хаотических в классическом пределе, и квантовых систем с регулярным классическим движением различаются.

В заключение отметим интересные результаты (Gutzwiller, 1983) для электрона, отражающегося от некомпактной поверхности всюду отрицательной кривизны. Было показано, что фазовый сдвиг как функция момента эффективно определяется фазовыми углами дзета-функции Римана на мнимой оси, проходящей на расстоянии 0,5 от так называемой критической линии. Этот фазовый сдвиг проявляет хаотические свойства, поскольку с его помощью можно имитировать любую заданную гладкую функцию.

Приведенные здесь замечания показывают, что вопрос о стохастичности в квантовой механике еще далек от своего решения.