1. Эксперименты и простые модели

В разд. 1.1 мы перечислим некоторые эксперименты, в которых различными способами обнаруживается детерминированный хаос. Затем (разд. 1.2) будут представлены несколько простых систем, демонстрирующих хаос, для которых возможно аналитическое описание.

1.1. Экспериментальное обнаружение детерминированного хаоса

В табл. 2 приведены четыре типичные системы, в которых проявляется детерминированный хаос.

Рассмотрим вначале простой пример — периодически возбуждаемый маятник. Уравнение его движения приведено в табл. 2, где точка обозначает производную по времени t, у — постоянную затухания, g — ускорение свободного падения, — частоту возбуждающей силы; масса принята за единицу. Это уравнение численно интегрировалось для различных значений параметров и в табл. 2 показано, что зависимость угла в от времени «выглядит хаотической», если амплитуда F вынуждающей силы превосходит некоторую пороговую величину . То, что сигнал выглядит случайным, является возможным, но не очень точным критерием хаотичности.

Чтобы отличить от хаоса многопериодическое движение (которое, как и хаос, может выглядеть сложным), часто прибегают к фурье-преобразованию сигнала

    (1.1)

Для многопериодического движения спектр мощности

состоит только из дискретных линий на определенных частотах, тогда как хаотическое движение, которое совершенно апериодично,

Таблица 2. Обнаружение хаоса в простых системах

(см. скан)

представляется в сплошной широкой полосой на низких частотах. Такой переход от периодического движения к хаосу представлен во второй строке табл. 2, где показан спектр мощности -компоненты скорости жидкости в эксперименте Бенара.

В этом эксперименте слой жидкости (с положительным коэффициентом объемного расширения) подогревается снизу в поле тяготения, как показано на рис. 2. Нагретая жидкость вблизи дна «стремится» подняться, а холодная вблизи крышки — опуститься,

Рис. 2. Неустойчивость Бекара.

но этим движениям противодействуют вязкие силы. При малых разностях температур АТ преобладает вязкость, жидкость покоится и тепло переносится постоянной теплопроводностью. Это состояние становится неустойчивым при критическом значении числа Рэлея R (пропорционального , см. приложение 1), и появляются стационарные конвективные валы. С дальнейшим ростом R после второго порога наблюдается переход к хаотическому движению. В табл. 2 приведены спектры мощности х-компоненты скорости, Измеренной по эффекту Доплера при рассеянии света (Swinney, Gollub, 1978; см. также фото I на вклейке — набор интерференционных картин в ячейке Бенара).

Для теоретического описания эксперимента Бенара Лоренц упростил сложные дифференциальные уравнения, описывающие эту систему (см. приложение 1), и получил дифференциальные уравнения так называемой модели Лоренца:

где а и b — безразмерные константы, характеризующие систему, г — управляющий параметр, пропорциональный АТ. Переменная X пропорциональна скорости циркулирующей жидкости, Y характеризует разность температур между восходящими и нисходящими потоками жидкости, Z пропорциональна отклонению вертикального профиля температуры от равновесного значения.

Численный анализ этой, очевидно, простой системы нелинейных дифференциальных уравнений показывает, что ее переменные могут проявлять хаотическое поведение при превышении порога (См. приложение 2). Однако следует отметить, что уравнения Лоренца описывают эксперимент Бенара только непосредственно вблизи перехода от теплопереноса к конвективным валам, так как пространственные фурье-коэффициенты, оставленные Лоренцем в системе уравнений, описывают только простые валы. Хаос, обнаруженный Лоренцем в уравнениях (1.3), таким образом, отличается от хаоса, наблюдаемого по экспериментальному спектру мощности (табл. 2). Для описания экспериментально наблюдаемого хаоса необходимо сохранить гораздо больше пространственных фурье-компонент.

Другая экспериментальная система, в которой подробно исследовано хаотическое поведение, — это реакция Белоусова — Жаботинского. Органические молекулы (например, малоновой кислоты) окисляются бромат-ионами при катализации окислительно-восстановительной системой Реагентами являются которые участвуют в 18 элементарных реакциях

Обобщенные уравнения для концентраций реагентов в системе химических реакций — также система нелинейных дифференциальных уравнений 1-го порядка:

где — нелинейная функция — внешний управляющий параметр. Переменная, проявляющая хаотическое поведение в реакции Белоусова — Жаботинского, — концентрация с ионов измеряемая по селективному поглощению света этими ионами. Среднее время пребывания веществ в проточном реакторе является внешним управляющим параметром, соответствующим R в предыдущем эксперименте.

В табл. 2 показан переход к хаосу в этой системе, обнаруживаемый по изменению автокорреляционной функции

Эта функция есть мера корреляции между последовательными значениями сигнала. Для регулярных движений она постоянна или осциллирует, а в хаотическом режиме быстро спадает (чаще всего экспоненциально) (Roux et al., 1981).

Наконец, рассмотрим простой пример из классической механики — неинтегрируемую систему, проявляющую хаотическое поведение. Гамильтониан Н этой системы приведен в табл. 2; уравнения движения были впервые исследованы численно в работе (Нёпоп, Heiles, 1964). Чтобы обнаружить хаос, строились точки, в которых траектория в фазовом пространстве

пересекает плоскость (здесь — импульсы и координаты). Так получают сечения Пуанкаре (см. рис. 3, а). В табл. 2 показано, что для системы Хенона — Хейлеса при достаточно большой

Рис. 3. Качественно разные траектории отличаются сечениями Пуанкаре: а — хаотическое движение; 6 — движение к неподвижной точке; в — цикл; г — цикл удвоенного периода.

энергии (которая является управляющим параметром для этой системы) точки на сечении Пуанкаре начинают заполнять плоскость. Это свидетельствует о высокой степени нерегулярности, т. е. о хаотическом движении траектории в фазовом пространстве.

Подведем итог.

1. Мы представили четыре возможных критерия хаотичности движения:

сигнал «выглядит случайным»;

в спектре мощности наблюдается широкополосный шум на низких частотах;

автокорреляционная функция быстро спадает; сечение Пуанкаре состоит из точек, заполняющих пространство. Во всех четырех критериях хаос проявляется в виде качественных изменений. Далее мы введем некоторые количественные характеристики детерминированного хаоса.

2. Общей чертой систем, перечисленных в табл. 2, является то, «то они могут быть описаны системой дифференциальных уравнений 1-го порядка малой размерности

которые автономны (т. е. F не содержат времени явно) и нелинейны (т. е. F — нелинейная функция ).

Эти уравнения приводят к хаотическому движению при изменении внешнего управляющего параметра X (которым служит амплитуда вынуждающей силы для маятника или разность температур в модели Лоренца и т. д.). Различают консервативные системы, для которых элемент в фазовом пространстве только изменяет форму, но сохраняет объем (пример — гамильтонова система Хенона — Хейлеса, для которой справедлива теорема Луивилля) и диссипативные системы, для которых объем элемента фазового пространства сокращается с течением времени (см. - также гл. 6).

Поток, описываемый уравнениями движения (1.7), удобно исследовать с помощью соответствующего -мерного отображения Пуанкаре:

Оно получается при пересечении траектории в -мерном фазовом пространстве с -мерной гиперплоскостью (см. рис. 3); последовательность точек во времени обозначена через и т. д. Определения «консервативный» и «диссипативный» могут быть обобщены на отображения (см. гл. 5, уравнения (5.6а), (5.6б).

Хотя системы, представленные в табл. 2, выглядят весьма просто, для аналитического исследования они слишком сложны. Поэтому в дальнейшем мы будем исследовать модельные системы, проявляющие хаотическое поведение и приводящие к одно- и двумерным отображениям Пуанкаре, — их легко объяснить. Будет показано, что только некоторые общие черты этих отображений (такие, например, как существование у них простого максимума) определяют, как возникает хаос. «Пути к хаосу» (или сценарии перехода) различаются тем, как ведет себя сигнал, прежде чем стать совершенно случайным.

Кроме того, экспериментально (при прямом анализе реализаций) обнаружено, что системы, перечисленные в табл. 2, переходят к хаосу по конечному числу сценариев (одним или несколькими — в зависимости от величины управляющих параметров). Результат эволюции этих экспериментальных систем определяется простыми отображениями Пуанкаре (хотя мы и не можем определить эти отображения прямо из дифференциальных уравнений аналитически). Эта очевидная универсальность — весьма привлекательный аспект теории детерминированного хаоса. Она сходна с универсальностью, наблюдаемой в обычных равновесных фазовых переходах, и может быть объяснена в рамках обобщенных ренормгрупп, что мы увидим в следующих главах.