152. Логарифмические уравнения.

Простейшее логарифмическое уравнение имеет вид:

Чтобы решить уравнение нужно:

1) решить уравнение

2) из найденных корней отобрать те, которые удовлетворяют неравенствам остальные корни уравнения

являются посторонними для уравнения

Имеются два основных метода решения логарифмических уравнений: 1) метод, заключающийся в преобразовании уравнении к виду затем к виду метод введения новой переменной.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Перейдем от заданного уравнения к уравнению и решим его. Имеем откуда . Проверку найденных значений х выполним с помощью неравенств Число —3 этим неравенствам удовлетворяет, а число 4 нет. Значит, 4 — посторонний корень.

Ответ: —3.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Воспользовавшись тем, что сумма логарифмов равна логарифму произведения (см. п. 120), преобразуем уравнение к виду

и далее

Из последнего уравнения находим Осталось сделать проверку. Ее можно выполнить с помощью системы неравенств

Подставив поочередно найденные значения в эти неравенства, убеждаемся, что —1 удовлетворяет всем неравенствам, нет, — например, при этом значении не выполняется первое неравенство. Значит, посторонний корень.

Ответ: —1.

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Так как

— 1, то заданное уравнение можно переписать следующим образом:

Введем новую переменную, положив Получим далее Но поэтому из уравнения находим

Ответ: 4.