183. Решение рациональных неравенств методом промежутков.
Решение рациональных неравенств вида
(вместо знака
может быть и любой другой знак неравенства), где
— многочлены, основано на следующем рассуждении.
Рассмотрим функцию
где
Если
то каждый из сомножителей
положителен, и, следовательно, на промежутке
имеем
. Если
то
остальные сомножители по-прежнему положительны. Значит, на интервале
имеем
Аналогично на интервале
будет
(рис. 84, а).
Изменение знаков функции
удобно иллюстрировать с помощью волнообразной кривой (ее называют «кривой знаков»), которую чертят справа налево, начиная сверху (рис. 84, б). Эту иллюстрацию нужно понимать так: на тех промежутках, где эта кривая проходит выше координатной прямой, выполняется неравенство
на тех же промежутках, где кривая проходит ниже прямой, имеем
Для проведенного выше рассуждения было несущественно количество линейных множителей в числителе и знаменателе, а также взаимное расположение корней числителя и знаменателя дроби на координатной прямой. Поэтому оно применимо и для функции вида
где числа
попарно различны. Изменение знаков функции
мы также можем иллюстрировать с помощью кривой знаков, которую чертят справа налево, начиная сверху, и проводят через все отмеченные на координатной прямой точки
На этом основан метод промежутков, который с успехом применяется для решения рациональных неравенств.
Пример 1. Решить неравенство
Решение. Выполним преобразования левой части неравенства
и умножим обе части неравенства на 8; получим неравенство
равносильное данному.
Изменение знаков функции
иллюстрируем с помощью кривой знаков (рис. 85, а). Значения х, при которых
(заштриховано), удовлетворяют следующим неравенствам:
Это решения исходного неравенства.
Пример 2. Решить неравенство
Решение. Имеем
и далее
Начертим кривую знаков для функции
(рис. 85, б). С ее помощью находим решения неравенства:
Пример 3. Решить неравенство
Решение. Выражение
обращается в нуль при
и при
при остальных значениях х оно положительно. Значения