183. Решение рациональных неравенств методом промежутков.
Решение рациональных неравенств вида 
(вместо знака 
может быть и любой другой знак неравенства), где 
— многочлены, основано на следующем рассуждении.
Рассмотрим функцию 
где 
Если 
то каждый из сомножителей 
положителен, и, следовательно, на промежутке 
имеем 
. Если 
то 
остальные сомножители по-прежнему положительны. Значит, на интервале 
имеем 
Аналогично на интервале 
будет 
(рис. 84, а).
Изменение знаков функции 
удобно иллюстрировать с помощью волнообразной кривой (ее называют «кривой знаков»), которую чертят справа налево, начиная сверху (рис. 84, б). Эту иллюстрацию нужно понимать так: на тех промежутках, где эта кривая проходит выше координатной прямой, выполняется неравенство 
на тех же промежутках, где кривая проходит ниже прямой, имеем 
Для проведенного выше рассуждения было несущественно количество линейных множителей в числителе и знаменателе, а также взаимное расположение корней числителя и знаменателя дроби на координатной прямой. Поэтому оно применимо и для функции вида
где числа 
попарно различны. Изменение знаков функции 
мы также можем иллюстрировать с помощью кривой знаков, которую чертят справа налево, начиная сверху, и проводят через все отмеченные на координатной прямой точки 
На этом основан метод промежутков, который с успехом применяется для решения рациональных неравенств.
Пример 1. Решить неравенство
Решение. Выполним преобразования левой части неравенства
и умножим обе части неравенства на 8; получим неравенство 
равносильное данному.
Изменение знаков функции 
иллюстрируем с помощью кривой знаков (рис. 85, а). Значения х, при которых 
(заштриховано), удовлетворяют следующим неравенствам:
Это решения исходного неравенства.
Пример 2. Решить неравенство 
Решение. Имеем 
и далее 
Начертим кривую знаков для функции 
(рис. 85, б). С ее помощью находим решения неравенства:
Пример 3. Решить неравенство 
Решение. Выражение 
обращается в нуль при 
и при 
при остальных значениях х оно положительно. Значения
удовлетворяют данному нестрогому неравенству, т. е. являются его решениями. Пусть теперь 
тогда 
потому, разделив обе части заданного неравенства на 
и сохранив знак заданного неравенства, получим неравенство, равносильное исходному (см. п. 174). Полученное неравенство имеет следующие решения: 
. В ответ нужно включить и отмеченное выше решение 