158. Графическое решение уравнений.

На практике довольно часто оказывается полезным графический метод решения уравнений. Он заключается в следующем: для решения уравнения строят график функции и находят абсциссы точек пересечения графика с осью эти абсциссы и являются корнями уравнения. Так, для решения уравнения достаточно построить график квадратичной функции и найти абсциссы точек пересечения этого графика с осью х.

Например, график функции (рис. 59, в) пересекает ось х в точках (1; 0) и (5; 0), значит, уравнение имеет два корня: График

функции не пересекает ось абсцисс, значит, уравнение не имеет действительных корней.

Часто уравнение заменяют равносильным затем строят графики функций (если это проще, чем построение графика функции и находят абсциссы точек пересечения построенных графиков.

Так, для решения уравнения можно преобразовать уравнение к виду затем построить графики функций и найти абсциссы точек пересечения этих графиков.

Пример 1. Решить графически уравнение

Решение. Уравнение целесообразно переписать в виде

Теперь решение уравнения может быть сведено к нахождению абсцисс точек пересечения графиков функций (рис. 68, а, б).

На рисунке 68, в построены в одной системе координат графики функций Определяем абсциссы точек А и В пересечения этих графиков: . Таким образом, заданное уравнение имеет два корня: —1; 2.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Построим в одной системе координат графики функций График функции изображен на рисунке 69, а. Чтобы построить график функции рассмотрим два случая: если , то и потому если же то и потому . Таким образом, запись эквивалентна записи

График этой функции изображен на рисунке 69, б. На рисунке 69, в оба графика изображены в одной системе координат. Они пересекаются в двух точках с абсциссами Это два корня данного уравнения.

С графическим методом решения уравнения связан функциональный метод решения уравнения, основанный на том, что если одна из функций возрастает, а другая убывает, то уравнение либо не имеет корней (рис. 70, а), либо имеет единственный корень (рис. 70, б).

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Легко заметить, что — корень уравнения. Так как функция возрастает, а функция убывает, то других корней это уравнение не имеет (рис. 71).