31. Длина окружности.

Из наглядных соображений ясно, что длина окружности сколь угодно мало отличается от периметра вписанного в нее выпуклого многоугольника с достаточно малыми сторонами. Имеет место такое свойство длины окружности:

Т.1.39. Отношение длины окружности к ее диаметру не зависит от окружности, т. е. одно и то же для любых двух окружностей.

Отношение длины окружности к диаметру принято обозначать греческой буквой (читается где С — длина окружности, — ее радиус. Число иррациональное, я» 3,1416.

Таким образом, длина окружности вычисляется по формуле

На рисунке 93 изображена дуга окружности с центром О. Длина дуги окружности, соответствующей центральному углу в , находится по формуле

Радианной мерой угла называется отношение длины соответствующей дуги к радиусу окружности. Из формулы длины дуги окружности следует, что т. е. радианная мера угла получается из градусной умножением на в частности, радианная мера угла 180° равна , радианная мера прямого угла равна

Единицей радианной меры углов является радиан. Угол в один радиан — это центральный угол, у которого длина дуги равна радиусу. Градусная мера угла в один радиан равна

Пример 1. Точки М и N делят окружность на две дуги, разность градусных мер которых равна 90°. Чему равны градусные меры каждой из дуг?

Решение. Сумма градусных мер дуг равна 360°, а разность равна 90°. Обозначим градусные меры этих дуг х и у. Имеем:

Решая эту систему, получим

Пример 2. Сторона квадрата равна 4 см. Вычислить длину окружности: 1) вписанной в него; 2) описанной около него.

Решение. 1) Радиус вписанной в квадрат окружности равен 2 см, тогда длина окружности равна см.

2) Радиус окружности, описанной около квадрата, равен Поэтому длина окружности равна см.