169. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методами умножения и деления.

Методы умножения и деления при решении систем уравнений основаны на следующем утверждении:

Т.5.7. Если обе части уравнения ни при каких значениях одновременно не обращаются в нуль, то системы

равносильны.

Пример 1. Решить систему уравнений

Решение. Рассмотрим первое уравнение. Левая его часть обращается в 0 при . Если , то правая часть обращается в 0 при . Но при левая часть не имеет смысла. Значит, нет таких пар при которых обе части первого уравнения системы обращаются в 0. Поэтому можно заменить первое уравнение произведением обоих уравнений системы, оставив второе уравнение системы без изменений.

Получим:

Преобразовав первое уравнение этой системы, получим Подставив найденное значение у во второе уравнение системы, получим:

Решим это иррациональное уравнение (см. п. 150). Имеем последовательно

Второе значение не удовлетворяет уравнению (1), т. е. является посторонним корнем. Значит, система имеет одно рещение (5; 4).

Пример 2. Решить систему уравнений

Решение. Ни при каких значениях обе части второго уравнения системы не обращаются в 0 одновременно. Значит, можно применить метод деления, перейдя от заданной системы к системе

Из второго уравнения этой системы находим, что

Подставим найденное выражение у через х в первое уравнение системы. Получим и далее

Из уравнения находим, что если то Итак, (5; 3) — решение системы.