64. Площади поверхностей тел вращения.
Воспользовавшись данным в предыдущем пункте определением площади поверхности, можно получить формулы, по которым вычисляются площади поверхностей различных тел вращения. Площадь сферы находится по формуле
где 
— радиус сферы.
Площадь поверхности сферического сегмента находится по формуле
где 
— радиус сферы, 
высота сегмента.
Площадь боковой поверхности цилиндра находится по формуле
где 
— радиус основания цилиндра, 
его высота. Для нахождения площади полной поверхности цилиндра надо к площади боковой поверхности прибавить удвоенную площадь основания.
Площадь боковой поверхности конуса находится по формуле
где 
— радиус основания конуса, 
его образующая. Для нахождения площади полной поверхности конуса нужно к площади его боковой поверхности прибавить площадь основания.
Площадь боковой поверхности усеченного конуса находится по формуле
где 
соответственно радиусы оснований, 
его образующая.
Пример 1. В конус, радиус основания которого 
и высота Н, вписан цилиндр. Найдите размеры цилиндра, при которых площадь его боковой поверхности имеет наибольшее значение.
Решение. Обозначим радиус основания цилиндра через 
его высоту через 
(рис. 187). Из подобия 
и
следует, что 
откуда 
Подставив в формулу 
значение 
, получим 
как функцию 
и иссдедуем ее на экстремум. Для этого найдем ее производную 
при 
. В этой точке функция 
имеет максимум. Итак, наибольшее значение площадь боковой поверхности цилиндра принимает при 
