66. Координаты середины отрезка.

Расстояние между точками. Пусть — две произвольные точки плоскости и — середина отрезка (рис. 191).

Формулы, связывающие координаты точки С с координатами точек А и В, таковы:

Формулы верны и в случае, если отрезок параллелен одной из осей координат.

Для точек А, В и С пространства эти формулы аналогичны. Пусть — две произвольные точки. Формулы, выражающие координаты х, у, z точки С — середины отрезка через координаты его концов А и В, таковы:

Сутцествует формула для нахождения расстояния между точками, заданными своими координатами.

Если точки (рис. 192) лежат на плоскости, то расстояние между находится по формуле

Эта формула верна для любого расположения точек

Расстояние между двумя точками пространства находится по формуле

Пример 1. Найти координаты одного из концов диаметра окружности, если другим его концом является точка (2; 3), а центром окружности — точка (0; 1).

Решение. Известно, что центр окружности является серединой любого диаметра, поэтому, подставив в формулы для нахождения координат точки (0; 1) середины отрезка координаты концов его (2; 3) и получим:

откуда — координаты другого конца диаметра.

Пример 2. Найти расстояние между точками плоскости

Решение. По формуле получим, что

Пример 3. Найти расстояние от точки пространства координатных плоскостей; 2) осей координат; 3) начала координат.

Решение. 1) Пусть — расстояние от А до плоскости , так как принадлежит плоскости Тогда по формуле

2) Пусть — расстояние от А до оси х, тогда откуда Аналогично