Глава VI. НЕРАВЕНСТВА

§ 17. Решение неравенств с переменной

174. Основные понятия, связанные с решением неравенств с одной переменной.

Пусть дано неравенство . Всякое значение переменной, при котором данное неравенство с переменной обращается в верное числовое неравенство, называется решением неравенства. Решить неравенство с переменной — значит найти все его решения или доказать, что их нет.

Два неравенства с одной переменной называются равносильными, если решения этих неравенств совпадают; в частности, неравенства равносильны, если оба не имеют решений.

При решении неравенств обычно заменяют данное неравенство другим, более простым, но равносильным данному; полученное неравенство снова заменяют более простым, равносильным данному неравенством и т. д. Такие замены осуществляются на основе следующих утверждений.

Т.6.1. Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится неравенство, равносильное данному.

Т.6.2. Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится неравенство, равносильное данному.

Т.6.3. Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.

Например, неравенства равносильны по теореме 6.1. Неравенства равносильны по теореме 6.2 (обе части неравенства мы разделили на положительное число 3, оставив без изменения знак исходного неравенства). Неравенства равносильны по теореме 6.3 (обе части неравенства — мы разделили на отрицательное число —6, изменив при этом знак исходного неравенства на знак

На практике иногда полезны теоремы, являющиеся обобщениями теорем 6.2 и 6.3.

Т.6.4. Если обе части неравенства умножить или разделить I на одно и то же выражение, принимающее при всех

значениях переменной положительные значения, то получится неравенство, равносильное данному.

Т.6.5. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же выражение, принимающее при всех значениях переменной отрицательные значения, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.