188. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными.

Рассмотрим неравенство Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая неравенство в верное числовое неравенство. Известно, что пара действительных чисел однозначно определяет точку координатной плоскости. Это дает возможность изобразить решения неравенства или системы

неравенств с двумя переменными геометрически, в виде некоторого множества точек координатной плоскости.

Пример 1. Изобразить на координатной плоскости множество решений неравенства

Решение. Преобразуем данное неравенство к виду Построим на координатной плоскости прямую Так как ордината любой точки, лежащей выше прямой больше, чем ордината точки, имеющей такую же абсциссу, но лежащей на прямой, то множество точек плоскости, расположенных выше этой прямой, и будет геометрическим изображением решений заданного неравенства (рис. 90).

Пример 2. Изобразить на координатной плоскости множество решений неравенства

Решение. Преобразуем неравенство к виду Построим на координатной плоскости параболу — график функции

Так как ордината любой точки, лежащей выше параболы больше, чем ордината точки, имеющей ту же абсциссу, но лежащей на параболе, и так как неравенство нестрогое, то геометрическим изображением решений заданного неравенства будет множество точек плоскости, лежащих на параболе и выше нее (рис. 91).

Пример 3. Изобразить на координатной плоскости множество решений системы неравенств

Решение. Геометрическим изображением решений системы неравенств является множество точек первого координатного угла (рис. 92, а). Геометрическим изображением решений неравенства или является множество точек, лежащих ниже прямой, служащей графиком функции (рис. 92, б). Наконец, геометрическим изображением решений неравенства или, поскольку неравенства является множество точек, лежащих выше ветви гиперболы, служащей графиком функции (рис. 92, в). В итоге получаем множество точек координатной плоскости, лежащих в первом координатном углу ниже прямой, служащей графиком функции и выше гиперболы, служащей графиком функции (рис. 93).