22. Простейшие задачи на построение.

Во всех рассматриваемых здесь задачах можно пользоваться только двумя чертежными инструментами — линейкой и циркулем.

В школьном курсе геометрии при решении задач на построение прежде всего нужно знать, как выполнить построение, а уже потом его выполнять. Кроме этого, важно уметь доказать, что предложенное построение привело к построению фигуры с требуемыми свойствами.

Рассмотрим простейшие задачи на построение.

Задача 1. Построить треугольник с данными сторонами .

На рисунке 64 построение выполнено так: с помощью линейки провели прямую и с помощью циркуля — три окружности: радиусами с центром в точке В, радиусом с центром в точке С.

Эта задача не всегда может иметь решение. Для сторон с треугольника должны выполняться условия:

Задача 2. Построить угол, равный данному.

На основании аксиомы (см. п. 8) от данной полупрямой в данную полуплоскость можно отложить угол, равный данному углу. Как это сделать с помощью циркуля и линейки?

На рисунке 65 построение выполнено так: — данный угол, — данная полупрямая. Провели две окружности с центрами А и О одинакового произвольного радиуса и окружность с центром радиуса Очевидно, по третьему признаку равенства треугольников (Т.1.17), откуда

Задача 3. Построить биссектрису данного угла.

На рисунке 66 построение биссектрисы данного угла выполнено так: построили три окружности с центрами в точках А, В и С одного произвольного радиуса. Точку пересечения окружностей с центрами в точках В и С точку D соединим с точкой А. Полупрямая — биссектриса угла Доказательство этого факта основано на равенстве треугольников по третьему признаку равенства треугольников (Т.1.17).

Задача 4. Разделить отрезок пополам.

На рисунке 67 построение середины отрезка выполнено так: строим две окружности с центрами в точках А и В радиусом Точки С и С, лежат в разных полуплоскостях, поэтому отрезок пересекает в точке О — середине отрезка

Доказательство основано на рассмотрении равных треугольников: (Т.1.17), (Т.1.15).

Задача 5. Через данную точку О провести прямую, перпендикулярную данной прямой а.

Возможны два случая:

1) Точка О принадлежит прямой а. Построение изображено на рисунке 68. Строим три окружности: с центром в точке О произвольного радиуса (она пересекает прямую а в точках А и В), с центрами в точках А и В радиусом Точку пересечения двух последних окружностей — точку С соединим с точкой О. Прямая искомая.

Перпендикулярность прямых следует из равенства треугольников АСО и ВСО (Т.1.17).

2) Точка О не принадлежит прямой а. Построение, изображенное на рисунке 69, выполнено так: построили три окружности: с центром в точке О произвольного радиуса, А и В — точки пересечения этой окружности с прямой а; с центрами в точках А и В тем же радиусом, — точка их пересечения, лежащая в полуплоскости, в которой не лежит точка О. Прямая — искомый перпендикуляр.

Доказательство проводим так:

смежные, а так как они равны, то они прямые. Значит, — перпендикуляр, опущенный из точки О на прямую а.

Рассмотренные задачи применяются при решении более сложных задач на построение.

Пример. Построить окружность данного радиуса касающуюся данной прямой а и проходящую через данную точку М, не лежащую на этой прямой.

Решение. Предположим, что задача решена и построена окружность с центром О данного радиуса касающаяся прямой а и проходящая через точку М (рис. 70). Ее центр лежит на прямой , находящейся от а на расстоянии точка О есть точка пересечения окружности того же радиуса с центром в точке М и прямой

Построение выполняем в такой последовательности:

1) Проводим прямую 6, параллельную а и находящуюся от а на расстоянии

2) Проводим окружность с центром в точке М радиусом

Точка пересечения О прямой и проведенной окружности — центр искомой окружности. Доказательство очевидно: построенная окружность касается прямой а, имеет радиус и проходит через точку М. Задача может иметь два, одно решение или не иметь решений. (Рассмотрите различные случаи сами. На рисунке 70 приведены два решения.)