79. Прямая пропорциональность.

Прямой пропорциональностью называется функция, заданная формулой , где

Число называется коэффициентом пропорциональности.

Перечислим свойства функции

1) Область определения функции — множество всех действительных чисел.

2) — нечетная функция

3) При функция возрастает, а при убывает на всей числовой прямой.

Т.3.1. Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат.

Доказательство

Проведем прямую через начало координат и точку и докажем, что она является графиком функции

Рассмотрим сначала случай, когда (рис. 16).

Возьмем любую точку лежащую на прямой I. Из подобия треугольников и заключаем, что откуда Возьмем теперь точку не лежащую на прямой I. Тогда координаты точки с той же абсциссой, но лежащей на прямой 19 удовлетворяют уравнению значит, координаты точки Р этому уравнению не удовлетворяют. Итак, точки прямой I, и только они, удовлетворяют формуле значит, прямая I — график функции

Рассмотрим теперь случай, когда Возьмем две функции При одной и той же абсциссе х ординаты графиков этих функций равны по модулю, но противоположны по знаку. Значит, храфики этих функций симметричны относительно оси абсцисс. Но и по доказанному выше графиком функции является прямая. Поскольку при преобразовании симметрии прямая переходит в прямую, то и графиком функции является прямая.

На рисунке 16, а изображен график функции при на рисунке график функции при

Пример. Построить график функции

Решение. Мы знаем, что графиком является прямая, проходящая через начало координат. Для ее построения достаточно найти одну точку графика, отличную от начала координат, и провести прямую через начало координат и найденную точку. В качестве такой точки выберем точку (1; 2) (если то ). График функции изображен на рисунке 16, в.