1. В $\S 3$ при рассмотрении рассеяния рентгеновских лучей на свободных электронах мы интересовались только изменением длины волны в зависимости от угла рассеяния. Для решения этого вопроса была достаточна простая квантовая теория, основанная только на законах сохранения энергии и импульса. Если же требуется определить интенсивность и поляризацию рассеянного излучения в различных направлениях, то необходимо уже пользоваться полной системой уравнений квантовых электродинамики и релятивистской механики. Именно так такая задача была решена О. Клейном (1894-1977) и Нишиной $(1890-1951)$ в 1929 г. и более строго И.Е. Таммом в 1930 г. Рассмотрение этого вопроса далеко выходит за рамки настоящего руководства. Однако и простая классическая теория приводит к правильному результату в предельном случае, когда энергия падающего кванта $h
u$ мала по сравнению с собственной энергией электрона $m_{\mathrm{e}} c^{2}$ (или, что то же самое, когда длина волны $\lambda$ велика по сравнению с комптоновской длиной $\lambda_{\mathrm{K}}$ для электрона). Такой случай представляет определенный интерес, так как для легких элементов он дает независимый метод определения заряда ядра $Z$. Рассмотрим этот вопрос при указанном условии, что $h
u \ll m_{\mathrm{e}} c^{2}$. Однако рентгеновские кванты будем предполагать все же настолько жесткими, что их энергия велика по сравнению с энергией связи электронов, так что электроны могут считаться свободными. Удовлетворить обоим условиям можно только для легких элементов.
2. Свободный электрон в монохроматическом электрическом поле $E=E_{0} \cos \omega t$ получает ускорение
\[
\ddot{x}=-\frac{e}{m} E=-\frac{e}{m} E_{0} \cos \omega t
\]
(если пренебречь действием магнитного поля). Согласно классической электродинамике такой электрон излучает, теряя энергию в виде рассеянного излучения. Энергия, рассеиваемая электроном в единицу времени, дается выражением
\[
-\frac{d \mathscr{E}}{d t}=\frac{2}{3} \frac{e^{2}}{c^{3}} \ddot{x}^{2}=\frac{2}{3} \frac{e^{4}}{m^{2} c^{3}} E_{0}^{2} \cos ^{2} \omega t
\]
(см. т. III, § 141). Среднее по времени значение этой величины равно
\[
-\frac{\overline{d \mathscr{E}}}{d t}=\frac{1}{3} \frac{e^{4}}{m^{2} c^{3}} E_{0}^{2} .
\]

Рассеянием на тяжелых атомных ядрах можно полностью пренебречь, так как в этом случае в знаменатель последней формулы войдет большая величина – масса заряженной частицы в квадрате.

Если падающая волна плоская, то плотность потока электромагнитной энергии численно равна вектору Пойнтинга
\[
S=\frac{c}{4 \pi} E H=\frac{c}{4 \pi} E_{0}^{2} \cos ^{2} \omega t .
\]

Ее среднее значение по времени $\bar{S}=(c / 8 \pi) E_{0}^{2}$. Разделив среднюю рассеиваемую энергию на $\bar{S}$, получим полное поперечное сечение рассеяния на свободном электроне:
\[
\sigma_{\mathrm{T}}=\frac{8 \pi}{3} \frac{e^{4}}{m_{\mathrm{e}}^{2} c^{4}}=0,6652448(33) \cdot 10^{-24} \mathrm{~cm}^{2} .
\]

Эта формула была получена еще Томсоном на заре электронной теории. Величина $\sigma_{\mathrm{T}}$ называется томсоноєским поперечным сечением рассеяния для электрона. Ее можно представить в виде
\[
\sigma_{\mathrm{T}}=\frac{8}{3} \pi r_{\mathrm{e}}^{2}
\]

где $r_{\mathrm{e}}$ – так называемый классический радиус электрона:
\[
r_{\mathrm{e}}=\frac{e^{2}}{m_{\mathrm{e}} c^{2}}=2,8179380(70) \cdot 10^{-13} \text { см. }
\]

Согласно (10.1) интенсивность рассеяния в рентгеновской области спектра совсем не зависит от частоты падающего излучения. Напротив, в оптической области интенсивность света, рассеянного атомами и молекулами, а также любыми малыми неоднородностями среды, пропорциональна четвертой степени частоты (см. т. IV, § 98). Это различие связано с тем, что в рентгеновской области спектра ускорение электрона (а от него зависит рассеяние) определяется самим электрическим полем. В оптической же области размеры атомов и молекул малы по сравнению с длиной световой волны. В пренебрежении резонансными эффектами здесь напряженностью электрического поля определяется дипольный момент частицы $p=\beta E$. Рассеяние же пропорционально квадрату его второй производной по времени, т. е. четвертой степени частоты $\omega$. То же относится и к неоднородностям среды, если только их линейные размеры малы по сравнению с $\lambda$.

Точная формула Клейна-Нишины для полного сечения комптоновского рассеяния на неподвижном свободном электроне имеет вид
\[
\frac{\sigma}{\sigma_{\mathrm{T}}}=\frac{3}{4}\left\{\frac{1+\gamma}{\gamma^{3}}\left[\frac{2 \gamma(1+\gamma)}{1+2 \gamma}-\ln (1+2 \gamma)\right]+\frac{1}{2 \gamma} \ln (1+2 \gamma)-\frac{1+3 \gamma}{(1+2 \gamma)^{2}}\right\},
\]

где $\gamma=h
u / m_{\mathrm{e}} c^{2}$ – отношение энергии падающего кванта к энергии покоя электрона. Формула эта хорошо согласуется с опытными данными. По сравнению с формулой Томсона (10.2) она дает монотонное убывание $\sigma$ с возрастанием энергии падающего кванта. Это убывание иллюстрируется табл. 1. Максимального значения $\sigma$ достигает при $\gamma \rightarrow 0$. Оно равно $\sigma_{\mathrm{T}}$.
3. Перейдем теперь к рассеянию падающего пучка рентгеновского излучения всем атомом. В случае достаточно жесткого излучения электроны атомной оболочки будут рассеивать это излучение независимо, т. е. некогерентно. Тем более это будет справедливо для электронов различных атомов. Заметив это, рассмотрим параллельный пучок рентгеновских лучей с единичной площадью поперечного сечения, распространяющийся в направлении оси $X$. Между двумя поперечными сечениями этого пучка с координатами $x$ и $x+d x$ находится $n d x$ атомов, где $n$ – число атомов в единице объема. Если атом нейтрален,
Таблица 1
Поперечное сечение комптоновского рассеяния при различных энергиях первичных фотонов

то в нем содержится $Z$ электронов. В единицу времени они рассеивают энергию $Z \sigma I$, а электроны всех $n d x$ атомов – энергию $Z \sigma \operatorname{Indx}$, где $I$ – интенсивность падающего пучка. Из-за такого рассеяния интенсивность пучка уменьшается на $I \varkappa d x$, где $\varkappa$ называется коэффиииентом рассеяния и определяется выражением
\[
\varkappa=\sigma n Z .
\]

Ослабление пучка происходит не только из-за рассеяния, но и из-за поглощения рентгеновских лучей. Поглощение сопровождается выделением тепла внутри тела, так что оно принципиально может быть отделено от рассеяния. Сам коэффициент рассеяния $\varkappa$ пропорционален $n$, т. е. плотности $\rho$ тела. Поэтому на опыте целесообразно измерять отношение $\varkappa / \rho$. Очевидно, $\rho=n A m_{\mathrm{H}}$, где $m_{\mathrm{H}}$ – масса атома водорода, $A$ – относительная атомная масса рассеивающего вещества. Используя для $\sigma$ томсоновское значение (10.1), нетрудно получить
\[
\frac{\varkappa}{\rho}=\frac{\sigma_{\mathrm{T}}}{m_{\mathrm{H}}} \frac{Z}{A} \approx 0,40 \frac{Z}{A} \mathrm{~cm}^{2} /\ulcorner.
\]

Найденная на опыте величина $\varkappa / \rho$ оказалась для легких элементов не зависящей от длины волны и равной приблизительно $0,20 \mathrm{~cm}^{2} /$ г. Используя это значение, из (10.6) получаем $Z / A \approx 1 / 2$, т. е у легких элементов (за исключением водорода) зарядовое число $Z$ (численно совпадающее с порядковым номером элемента) равно приблизительно половине массового числа $A$. Это действительно приближенно оправдывается в начале периодической системы элементов. Физическая причина такой закономерности и отступлений от нее будет выяснена при изучении атомного ядра.