1. K середине XIX века волновая природа света считалась доказанной окончательно. Ее подтверждали явления интерференции и дифракции света. А опыт Фуко (1819-1868), казалось, исключал всякую возможность корпускулярных представлений о свете (см. т. IV, § 3). Это действительно было бы так, если бы имелась в виду корпускулярная теория в ньютоновской форме (см. §5).

Однако и волновая теория света, даже в ее электромагнитной форме, оказалась недостаточной для истолкования всей совокупности оптических явлений. Впервые это было осознано при рассмотрении проблемы равновесного (черного) излучения. Настойчивые попытки решить эту проблему в рамках волновых представлений на основе классических электродинамики и статистики закончились неудачей (см. т. IV, § 117). Формула, согласующаяся с опытом во всем диапазоне длин волн, была угадана Планком (1858-1947) в октябре 1900 г., сначала эмпирически. Немного позже Планк нашел и теоретический вывод своей формулы, доложенный им 14 декабря 1900 г. на заседании Немецкого физического общества. Это было исходным пунктом возникновения принципиально новых – квантовых – представлений. Сначала они касались только природы света, но затем постепенно проникли во все разделы физики.

Оказалось, что понятия и принципы классической физики, возникшие на основе изучения макроскопических объектов, неприменимы или ограниченно применимы в области атомных и субатомных масштабов. В этой области потребовались новые представления и законы, которые в конце концов и были найдены. Они составили основу новой, так называемой квантовой физики. Однако излагать квантовую физику систематически и дедуктивно, полностью отвлекаясь от истории ее развития, как это делается в теоретической физике, в общей физике было бы нецелесообразно. Сначала надо ознакомить начинающего с основными опытными фактами, которые одни только и могут убедить его в недостаточности и ограниченной применимости классических представлений. Они же, и это главное, позволяют наметить пути для введения новых представлений. Именно такой метод изложения принят в настоящей книге, дающей элементарное введение в квантовую физику.
2. Вернемся, однако, к истокам квантовых идей. При выводе своей формулы для равновесного излучения Планк ввел чуждую классической физике гипотезу, что излучение и поглощение света веществом происходит не непрерывно, а конечными порциями, или квантами. Так как свойства равновесного излучения в полости не зависят от вещества стенок полости, вещество без ограничения общности он рассматривал как совокупность гармонических осцилляторов. А чтобы согласовать свою гипотезу с законами термодинамики и электродинамики, Планк принял, что энергия кванта $\mathscr{E}$, излучаемая или поглощаемая гармоническим осциллятором частоты $
u$, определяется выражением
\[
\mathscr{E}=h
u
\]

где $h$ – универсальная постоянная, получившая название постоянной Планка (см. т. IV, § 118). Ее значение было вычислено самим Планком из экспериментальных результатов, полученных при изучении распределения энергии в спектре излучения абсолютно черного тела. Однако постоянная Планка, как и всякая фундаментальная постоянная, входит в множество других физических явлений. Все они дают независимые способы определения этой постоянной и в пределах ошибок измерений приводят к согласующимся результатам. По современным данным
\[
\left.h=6,626176(36) \cdot 10^{-27} \text { эрг } \cdot \mathrm{c}^{1}\right) .
\]

В некоторых вопросах, в особенности в теоретической физике, более удобна постоянная
\[
\hbar=1,0545887(57) \cdot 10^{-27} \text { эрг } \cdot \mathrm{c},
\]

введенная Дираком (1902-1984). Ее также называют постоянной План$к а$ – перечеркнутой или дираковой. Через эту постоянную энергия кванта излучения выражается формулой
\[
\mathscr{E}=\hbar \omega,
\]

где $\omega=2 \pi
u-$ циклическая частота излучения. Мы будем пользоваться как выражением (1.1), так и выражением (1.4).
3. Сам Планк, как видно из изложенного, полагал, что квантовые свойства света проявляются только в актах излучения и поглощения, т. е. при взаимодействии света с веществом. Распространение же света в пространстве, по его воззрениям, происходит непрерывно и описывается классическими уравнениями Максвелла (1831-1879). Более радикальная и законченная форма была придана квантовой теории света Эйнштейном (1879-1955) в 1905 г. Руководствуясь некоторыми теоретическими соображениями и экспериментальными фактами, Эйнштейн пришел к представлению, что и при распространении в пространстве свет ведет себя подобно совокупности каких-то частии, причем энергия каждой частицы определяется формулой Планка (1.1) или (1.4). Такие частицы позднее получили название квантов света или фотонов.
1) Здесь, как и всюду в дальнейшем, в скобках приведено стандартное отклонение последних двух цифр от их среднего значения.

Это не было простым возвратом к ньютоновской корпускулярной теории света. Нельзя смотреть на фотоны как на обычные частицы света, аналогичные материальным точкам классической механики и движущиеся по определенным траекториям в пространстве. Это видно уже из того, что фотонам свойственна интерференция и дифракция. Они обладают не только корпускулярными, но и волновыми свойствами. Такая особенность фотонов называется корпускулярно-волновым дуализмом. Было бы безнадежно пытаться истолковать корпускулярноволновой дуализм в духе представлений классической физики. Человеческое воображение не в состоянии создать образ, обладающий одновременно и свойствами корпускулы, и свойствами волны. Однако природа богаче воображения человека. При ее изучении надо руководствоваться не тем, что доступно воображению человека, а тем, что дают наблюдения и опыт. Отметим уже сейчас, что обычные корпускулы электроны, нейтроны, атомы, молекулы и пр. – также обладают волновыми свойствами. Опыты, заставляющие принять это заключение, будут рассмотрены в § 18. Поэтому обсуждение вопроса, как современная физика истолковывает корпускулярно-волновой дуализм, мы отложим до $\S 19$, после того как будут изучены волновые свойства вещества.
4. Если фотон обладает энергией, то он должен обладать и импульсом, как этого требует теория относительности. Импульс фотона проявляется, например, в давлении света. Связь между энергией $\mathscr{E}$ и импульсом р при движении частицы в теории относительности выражается формулой
\[
(\mathscr{E} / c)^{2}-\mathbf{p}^{2}=\left(m_{0} c\right)^{2}
\]
(см. т. IV, § 111). (При этом предполагается, что во время движения внутреннее состояние частицы, а с ним и ее масса покоя $m_{0}$ остаются без изменения.) Фотон движется в вакууме со скоростью света $c$, т. е. является релятивистской частицей. Если бы масса покоя фотона $m_{0}$ была отлична от нуля, то его релятивистская масса
\[
m=\frac{m_{0}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}
\]

была бы бесконечно велика. Поэтому надо допустить, что для фотона $m_{0}=0$. В результате предыдущее соотношение запишется в виде
\[
\mathscr{E}=p c .
\]
(Знак минус при извлечении квадратного корня следует опустить, принимая, что импульс фотона $\mathbf{p}$ направлен в сторону распространения света.)

Неклассический характер соотношения (1.1) или (1.4) проявляется, между прочим, в том, что по классическим представлениям энергия должна быть связана не с частотой, а с амплитудой колебания. По этим представлениям корпускулярно-волнового дуализма не должно быть. Но если такой дуализм все же сушествует, то связь между корпускулярными и волновыми свойствами излучения не может ограничиваться соотношением (1.1) или (1.4). Корпускулярные свойства излучения характеризуются энергией $\mathscr{E}$ и импулъсом р, волновые – частотой $\omega$ и волновым вектором k. В теории относительности величины $\mathscr{E}$ и р объединяются в один четырехмерный вектор энергии-импульса ( $\mathscr{E}, c \mathbf{p})$. Фаза волны $\omega t-\mathbf{k r}$, как показано в т. IV, § 107, инвариантна относителъно преобразования Лорентца. А так как $(t, \mathbf{r} / c)$ – четырехмерный вектор, то отсюда следует, что частота $\omega$ и волновой вектор $\mathbf{k}$ также объединяются в четырехмериый вектор $(\omega, c \mathbf{k})$. Временные компоненты $\mathscr{E}$ и $\omega$ четырехмерных векторов $(\mathscr{E}, c \mathbf{p})$ и $(\omega, c \mathbf{k})$ одинаково преобразуются при преобразованиях Лорентца. Поэтому соотношение (1.1) (или (1.4)) удовлетворяет необходимому требованию релятивистской инвариантности. Но релятивистски инвариантное соотношение не может ограничиться связью только между временными компонентами четырехмерных векторов $(\mathscr{E}, c \mathbf{p})$ и $(\omega, c \mathbf{k})$. Связь должна существовать между самими четырехмерными векторами. Отсюда следует, что если гипотеза Планка $\mathscr{E}=\hbar \omega$ верна, то из нее и из требования релятивистской инвариантности с неизбежностью вытекает, что $\mathbf{p}=\hbar \mathbf{k}$. Поэтому мы в качестве гипотезы принимаем, что
\[
\mathscr{E}=\hbar \omega, \quad \mathbf{p}=\hbar \mathbf{k} .
\]

При этом для фотона $\mathscr{E}^{2}-(\mathbf{p} c)^{2}=\left(m_{0} c^{2}\right)^{2}=0$, т. е. обращение в нуль массы покоя фотона $m_{0}$ эквивалентно утверждению, что для фотона четырехмерный вектор энергии-импульса $(\mathscr{E}, c \mathbf{p}$ ) является световым вектором.
5. При взаимодействии с веществом фотоны могут испускаться, поглощаться и рассеиваться. Сохранение числа фотонов не имеет места. Зато должны выполняться законы сохранения энергии и импульса.

Свободный электрон может только рассеять, но не испустить или поглотить фотон. Чтобы показать это простейшим способом, воспользуемся системой отсчета, в которой электрон первоначально покоился. Пусть электрон испустил фотон с импульсом $\mathbf{p}_{\phi}$ и энергией $\mathscr{E}_{\phi}$. Обозначим импульс электрона после испускания через $\mathbf{p}_{9}$, а энергию через $\mathscr{E}_{9}$. Из законов сохранения импульса и энергии следует
\[
\mathbf{p}_{
i}+\mathbf{p}_{\phi}=0, \quad \mathscr{E}_{э}+\mathscr{E}_{\phi}=m_{0} c^{2},
\]

где $m_{0}$ – масса покоя электрона. Отсюда
\[
\left(c \mathbf{p}_{
i}\right)^{2}=\left(c \mathbf{p}_{
i}\right)^{2}, \quad \mathscr{E}_{
i}^{2}=\mathscr{E}_{\phi}^{2}-2 \mathscr{E}_{\phi} m_{0} c^{2}+\left(m_{0} c^{2}\right)^{2} .
\]

Вычтем первое равенство из второго. Тогда с учетом соотношения (1.6) для фотона и соотношения (1.5) для электрона получим
\[
\mathscr{E}_{\phi} m_{0} c^{2}=0 .
\]

Отсюда следует $\mathscr{E}_{\phi}=0$, т. е. испускание невозможно. Таким же рассуждением убеждаемся, что невозможно и поглощение.

Полученный результат в известном смысле тривиален. Доказательство молчаливо предполагало, что масса покоя электрона до испускания равна его массе покоя после испускания. Это значит, что внутреннее состояние электрона в результате испускания не изменилось. В таком случае полная энергия электрона может только возрастать за счет кинетической энергии, получаемой электроном при отдаче во время испускания. Испущенный фотон в свою очередь несет положительную энергию. Если бы испускание было возможно, то оно сопровождалось бы нарушением закона сохранения энергии.

В заключение несколько слов об обозначениях. В физике элементарных частиц под массой частицы принято понимать массу покоя и обозначать ее через $m$ (опуская нуль в индексе). Однако, поскольку наряду с массой покоя нам придется пользоваться и релятивистской массой, мы сохраним для этих величин стандартные обозначения $m_{0}$ и $m$. Это в особенности будет делаться тогда, когда конкретный вид частицы не играет роли. Там же, где речь идет об электронах, протонах, нейтронах и других элементарных частицах, под $m_{\mathrm{e}}, m_{\mathrm{p}}, m_{\mathrm{n}}, \ldots$ мы будем понимать их массы покоя. Часто в общих рассуждениях массу покоя удобно обозначать через $m_{0}$, чтобы отличить ее от релятивистской массы $m$. В окончательных же результатах $m_{0}$ целесообразно заменить на $m_{\mathrm{e}}, m_{\mathrm{p}}, m_{\mathrm{n}}, \ldots$, чтобы явно указать, о массе покоя какой частицы идет речь.
ЗАДАЧИ
1. Определить длину волны $\lambda_{\mathrm{K}}$, при которой энергия светового кванта равна энергии покоя электрона. Такая длина волны называется комптоновской длиной для электрона (см. § 3).
Ответ. $\lambda_{\mathrm{K}}=h / m_{0} c \approx 2,43 \cdot 10^{-10}$ см, где $m_{0}$ – масса покоя электрона.
2. Определить релятивистскую массу $m$ светового кванта с длиной волны $\lambda$.
Ответ. $m=\left(\lambda_{\mathrm{K}} / \lambda\right) m_{0}$.
3. Если бы фотон обладал массой покоя $m_{\text {ф }}$, то скорость света в вакууме должна была бы зависеть от длины волны. Исследуя экспериментально эту зависимость, можно было бы оценить нижний предел для массы фотона. Найти выражения для фазовой и групповой скорости света в вакууме в предположении, что $m_{\phi}
eq 0$.
Решение. Энергия фотона $\hbar \omega$ и его импульс $\hbar k$ связаны соотношением
\[
(\hbar \omega)^{2}-(c \hbar k)^{2}=\left(m_{\phi} c^{2}\right)^{2},
\]

где, разумеется, под $c$ следует понимать уже не скорость света в вакууме, а некоторую фундаментальную скорость, входящую в теорию относительности. Из уравнения (1.8) и определится фазовая скорость света в вакууме $v=\omega / k$ :
\[
\frac{1}{v}=\frac{1}{c} \sqrt{1-\left(\frac{m_{\phi} c^{2}}{\hbar \omega}\right)^{2}} \approx \frac{1}{c}\left[1-\frac{1}{2}\left(\frac{m_{\phi} c^{2}}{\hbar \omega}\right)^{2}\right] .
\]

На опыте измеряется не фазовая, а групповая скорость света. Для нее из формулы (1.8) получается
\[
u=\frac{d \omega}{d k}=c^{2} \frac{k}{\omega}=\frac{c^{2}}{v},
\]

или
\[
u=c\left[1-\frac{1}{2}\left(\frac{m_{\phi} c^{2}}{\hbar \omega}\right)^{2}\right]=c\left[1-\frac{1}{2}\left(\frac{c \lambda}{h} m_{\phi}\right)^{2}\right] .
\]

Современные радиолокационные методы измерения скорости света при различных частотах приводят к результату $m_{\phi}<4 \cdot 10^{-21} m_{\mathrm{e}}$, где $m_{\mathrm{e}}$ – масса электрона.