1. Создание последовательной теории для описания явлений атомных и субатомных масштабов было начато и вчерне завершено в $1925-$ 1926 гг. Такая теория получила название квантовой механики. Сначала возникло то направление в квантовой механике, которое получило название матричной механики. Ее основные идеи были заложены в основополагающей работе Гейзенберга (1901-1976) «О квантовомеханическом истолковании кинематических и механических соотношений». Систематическое построение матричной механики было дано Борном (1882-1970) и Иорданом (1902-1980), к которым в дальнейшем присоединился и сам Гейзенберг. К этому направлению примыкает и та форма квантовой механики, которая практически одновременно и независимо была разработана Дираком. Немного позже в работах Шредингера (1887-1961) появилось другое направление, названное волновой механикой. Вскоре было выяснено, что эти два направления, отличаясь по форме, тождественны по своему физическому содержанию.

В общем курсе нецелесообразно говорить о весьма абстрактной матричной механике. Ограничимся только изложением, далеко не полным, физических представлений волновой механики. Разумеется, мы не можем подробно излагать сложный математический аппарат, составляющий неотъемлемую и весьма важную часть квантовой механики. Это делается в курсах теоретической физики.
2. Построению волновой механики Шредингера предшествовали работы Луи де Бройля (р. 1892). В 1923-1924 гг. он выдвинул и развил идеи о волнах вещества. К тому времени в оптике уже сложилась парадоксальная, но подтверждаемая опытом ситуация: в одних явлениях (интерференции, дифракции,…) свет ведет себя как волны; другие явления (фотоэффект, эффект Комптона,…) показывают с неменьшей убедительностью, что он ведет себя и как частицы. Де Бройль поставил вопрос, не распространяется ли подобный корпускулярноволновой дуализм и на обычное вещество? Если это действительно так, то каковы волновые свойства частиц вещества? Ответ, подтвержденный в дальнейшем опытами, оказался положительным.

Пусть частица движется в свободном пространстве с постоянной скоростью $v$. Де Бройль предположил, что с такой частицей связана какая-то плоская монохроматическая волна
\[
\Psi=\Psi_{0} e^{i(\mathbf{k r}-\omega t)},
\]

распространяющаяся в направлении скорости $v^{1}$ ). О природе этой волны, т. е. о физическом смысле функции $\Psi$, де Бройль не мог сказать ничего определенного. Отвлечемся временно и мы от обсуждения этого вопроса. Волны типа (17.1) получили название фазовых волн, волн вещества или волн де Бройля.

Попытаемся установить рациональную связь между корпускулярными и волновыми характеристиками частицы, которая совсем не зависит от физической природы величины $\Psi$. Будем руководствоваться требованием, чтобы эта связь была релятивистски инвариантна. Корпускулярные свойства частицы характеризуются ее энергией $\mathscr{E}$ и импульсом $\mathbf{p}$, волновые — частотой $\omega$ и волновым вектором $\mathbf{k}$. Под $\mathscr{E}$ мы будем понимать полную энергию частицы в смысле теории относительности. Она определяется однозначно требованием, чтобы энергия u импульс образовывали четырехмерный вектор ( $\mathscr{E} / c, \mathbf{p}$ ) (см. т. IV, $\S 111$, п. 3 ). Частоту $\omega$ определим из требования, чтобы фаза волны $\omega t-\mathbf{k r}$ была релятивистски инвариантна (см. по этому поводу § 19, п. 9). Тогда $\omega$ и $\mathbf{k}$ будут образовывать четырехмерный вектор $(\omega / c, \mathbf{k})$. Если потребовать, чтобы временные и пространственные компоненты четырехмерных векторов $(\mathscr{E} / c, \mathbf{p})$ и $(\omega / c, \mathbf{k})$ были пропорциональны друг другу, то получатся релятивистски инвариантные соотношения
\[
\begin{array}{c}
\mathscr{E}=\hbar \omega, \\
\mathbf{p}=\hbar \mathbf{k} .
\end{array}
\]

Они будут совпадать с соответствующими соотношениями для фотонов, если для всех частиц $\hbar$ положить равной постоянной Планка, что мы и сделаем. Такой выбор $\hbar$ логически не необходим, а оправдывается последующими результатами. Соотношения (17.2) и (17.3) и были постулированы де Бройлем.

Во всякой инерциальной системе отсчета волновой вектор $\mathbf{k}$ определен абсолютно однозначно, поскольку соотношением (17.3) он однозначно выражается через импульс частицы $\mathbf{p}=m v$. Напротив, соотношение (17.2) такой абсолютной однозначностью не отличается. Здесь однозначность навязана искусственно — требованием, чтобы $\mathscr{E}$ и $\omega$ были временными компонентами четырехмерных векторов. В принципе же энергия определена всегда с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Мы увидим далее (см. § 19), что и частоту $\omega$ можно переопределить так, чтобы она также содержала аддитивную постоянную.
${ }^{1}$ В оптике монохроматическая волна записывалась в виде $e^{i(\omega t-\mathbf{k r})}$. Сейчас мы употребляем комплексно сопряженное выражение $e^{i(\mathrm{kr}-\omega t)}$. Оба способа написания совершенно равноправны. Но в квантовой механике укоренилось написание волны именно в форме (17.1). Однако независимо от способа написания под фазой волны следует понимать выражение $\omega t-\mathbf{k r}$.

3. Рассмотрим некоторые свойства волн де Бройля, вытекающие из соотношений (17.2) и (17.3). Прежде всего из (17.3) получаем выражение для длины волны де Бройля:
\[
\lambda=\frac{2 \pi}{k}=\frac{2 \pi \hbar}{p}=\frac{h}{p} .
\]

Эта величина в каждой инерциальной системе отсчета определена однозначно.
Для фазовой скорости волн де Бройля формулы (17.2) и (17.3) дают
\[
v_{\text {ф }}=\frac{\omega}{k}=\frac{\mathscr{E}}{p} .
\]

В релятивистской теории $\mathscr{E}=m c^{2}, p=m v$, где $v$ — скорость частицы, а $m$ — релятивистская масса. В этом случае
\[
v_{\Phi}=\frac{c^{2}}{v} .
\]

Поскольку всегда $v \leqslant c$, отсюда следует, что $v_{\phi} \geqslant c$. Для фотонов в вакууме $v=c$, а потому в этом случае $v_{\phi}=c$. Полученный результат не должен нас смущать, поскольку на величину фазовой скорости не накладывается никаких ограничений. $\mathrm{K}$ тому же в дальнейшем будет показано, что, согласно современной физической интерпретации, фазовая скорость волн де Бройля имеет чисто символическое значение, так как эта интерпретация относит ее к числу принципиально ненаблюдаемых величин.

Принципиально наблюдаемой величиной является групповая скорость волн де Бройля
\[
v_{\text {гр }}=\frac{d \omega}{d k}=\frac{d \mathscr{E}}{d p} .
\]

Эта величина не содержит никакой неопределенности, поскольку не только $d p$, но и приращение энергии $d \mathscr{E}$ определены однозначно. При любой скорости движения частицы $d \mathscr{E}=v d p$, так что всегда
\[
v_{\text {гр }}=v,
\]
т. е. групповая скорость волн де Бройля равна скорости частицы. Заменив теперь в формуле (17.6) $v$ на $v_{\text {гр }}$, получаем
\[
v_{\phi} v_{\text {гр }}=c^{2} \text {. }
\]

Формально можно образовать величину, аналогичную длине волны де Бройля (17.4). Для этого заметим, что длина четырехмерного вектора энергии-импульса частицы в пространстве Минковского равна $\sqrt{(\mathscr{E} / c)^{2}-p^{2}}$. Это есть инвариант, равный $m_{0} c$, где $m_{0}$ — масса покоя частицы. Поделив на него постоянную Планка $h$, получим инвариантную величину
\[
\lambda_{\mathrm{K}}=\frac{h}{m_{0} c},
\]

имеющую размерность длины. Она представляет собой комптоновскую длину частицы. Таким образом, формально $\lambda_{\mathrm{K}}$ можно рассматривать
как длину волны де Бройля, которой соответствует величина импульса, равная инвариантной длине четырехмерного вектора энергии-импульса частицы в пространстве Минковского.
4. Де Бройль использовал представление о фазовых волнах для наглядного толкования таинственного правила квантования Бора (13.6) в случае одноэлектронного атома. Он рассмотрел фазовую волну, бегущую вокруг ядра по круговой орбите электрона. Если на орбите длина волны $\lambda$ укладывается целое число раз (рис.27), то волна при обходе вокруг ядра будет всякий раз возвращаться в исходную точку с той же фазой и амплитудой. В каждой точке орбиты установится неизменный колебательный режим во времени и не возникнет излучения. В этом случае орбита получится стационарной. Если же указанное условие не выполняется, то при обходе вокруг ядра фаза и амплитуда волны не возвратятся к своим исходным значениям —
Рис. 27

стационарного состояния не получится. Исходя из этих соображений, де Бройль записал условие стационарности орбиты, или правило квантования, в виде
\[
\frac{2 \pi R}{\lambda}=n
\]

где $R$ — радиус круговой орбиты, а $n$ — целое число (главное квантовое число). Полагая здесь $\lambda=h / p=2 \pi \hbar / p$ и замечая, что $L=R p$ есть момент количества движения электрона, получим
\[
L=n \hbar,
\]

что совпадает с условием (13.6). В этом де Бройль видел успех своей концепции фазовых волн. В дальнейшем условие (17.11) удалось обобщить и на случай эллиптических орбит, когда длина волны $\lambda$ меняется вдоль траектории электрона. Казалось, что это еще больше усиливало успех теории.

На самом деле этот успех призрачный. В рассуждении де Бройля предполагается, что волна распространяется не в пространстве, а вдоль линии — вдоль стационарной орбиты электрона. Такая идеализация соответствует приближению геометрической (лучевой) оптики. Этим приближением можно пользоваться в предельном случае, когда длина волны $\lambda$ пренебрежимо мала по сравнению с радиусом орбиты электрона, т.е. при больших квантовых числах. А тогда проблема квантования несущественна. Чтобы действительно получить существенно новое, надо заменить геометрическую оптику волновой. Это и было сделано Шредингером.
5. K полученным результатам можно прийти и другим путем. Для этого введем показатель преломления $\mu$ волн де Бройля — важную величину, имеющую и самостоятельное значение. Пространство, в котором распространяется волна де Бройля, условимся называть средой. Если в среде нет силового поля, то среда будет однородной. Показатель преломления среды может быть определен лишь с точностью до произвольного постоянного множителя, так как для преломления фазовых волн на границе раздела двух сред имеет значение только отношение показателей преломления этих сред. Во всякой волновой теории $\mu$ обратно пропорционален фазовой скорости волны. В случае волн де Бройля $\mu \sim 1 / v_{\text {фаз }}=v / c^{2}$. Опуская постоянный множитель, можно принять
\[
\mu=v .
\]

Определяемый этой формулой показатель преломления условно будем называть абсолютным. Формула (17.13) сохраняет смысл и в том случае, когда скорость частицы $v$ меняется от точки к точке, т.е. при наличии силовых полей. Скорость $v$, а с ней и $\mu$ в каждой точке однозначно определяются уравнением энергии $\mathscr{E}+U=$ const, в котором предполагается, что потенциальная функция $U$ зависит только от координат, но не зависит явно от времени.

В предельном случае коротких длин волн распространение последних происходит вдоль независимых линий или лучей (см. т. IV, § 6). Этот случай называется геометрической или лучевой оптикой. Распространение волнового возмущения вдоль лучей формально аналогично движению частицы классической механики по траекториям. Радиус кривизны $R$ луча или траектории частицы определяется формулой
\[
\frac{1}{R}=\frac{\partial}{\partial N}(\ln \mu)=\frac{\partial}{\partial N}(\ln v),
\]

где дифференцирование производится в направлении главной нормали $\mathbf{N}$ к лучу или траектории (см. т. IV, § 4). Эта формула, конечно, может быть использована (вместо уравнений Ньютона) для определения формы луча или траектории частицы.

Вернемся теперь к выводу правила квантования, данному де Бройлем. Условие применимости геометрической оптики к движению электрона вокруг ядра атома выражается формулой
\[
\left|\lambda \frac{d \mu}{d r}\right| \ll \mu, \quad \text { т. е. } \quad\left|\lambda \frac{d v}{d r}\right| \ll v .
\]

Подставив сюда $\lambda=2 \pi \hbar / p, \mu=v$ и ограничиваясь нерелятивистским приближением, запишем это так:
\[
\left|2 \pi \hbar \frac{d v}{d r}\right| \ll p v=2 K,
\]

где $K$ — кинетическая энергия электрона. Скорость $v$ найдется из уравнения энергии
\[
\frac{m v^{2}}{2}-\frac{Z e^{2}}{r}=\mathscr{E}=\text { const. }
\]

Отсюда находим
\[
m v r \frac{d v}{d r}=-\frac{Z e^{2}}{r}=U,
\]

где $U$ — потенциальная энергия. Если электрон движется по окружности, то $m v r=n \hbar$, а потому
\[
n \hbar \frac{d v}{d r}=U=\mathscr{E}-K=-2 K,
\]

так как при движении по окружности $\mathscr{E}+K=0$. Сопоставляя полученное соотношение с неравенством (17.14a), находим
\[
n \gg 2 \pi,
\]
т. е. квантовое число $n$ должно быть большим в согласии с тем, что было установлено выше.
6. Все изложенное представляет собой чисто умозрительное, гипотетическое построение, а потому не имеет доказательной силы. Истинное доказательство или опровержение полученных результатов может дать только опыт. В каких же явлениях природы могут проявиться волновые свойства вещества, если они действительно существуют? Независимо от физической природы волн сюда относятся явления интерференции и дифракции. Непосредственно наблюдаемой величиной в них является длина волны $\lambda$. Во всех случаях длины волн де Бройля определяются формулой (17.4). Применим ее к нерелятивистскому движению частиц.

Для электронов, ускоренных разностью потенциалов $V$, импульс определяется формулой $p=\sqrt{2 m_{\mathrm{e}} e V}$, так что в абсолютной системе единиц
\[
\lambda_{\mathrm{e}}=\frac{h}{\sqrt{2 m_{\mathrm{e}} e V}} .
\]

Положим здесь $h c=1,2399 \cdot 10^{-4}$ эВ $\cdot$ см, $m_{\mathrm{e}} c^{2}=511003$ эВ. Тогда получится практическая формула
\[
\lambda_{\mathrm{e}}=\sqrt{\frac{150,42}{V_{(\mathrm{B})}}} \cdot 10^{-8} \text { см }=\frac{1,2264}{\sqrt{v_{(\mathrm{B})}}} \mathrm{нм} .
\]

Для протонов
\[
\lambda_{\mathrm{p}}=\frac{0,02862}{\sqrt{v_{(\mathrm{B})}}} \text { нм. }
\]

Вычислим еще длину волны де Бройля для молекул неподвижного газа при абсолютной температуре $T$. Задача эта — не совсем определенная, поскольку молекулы движутся с тепловыми скоростями, распределенными по закону Максвелла. Не вдаваясь в обоснование (см. задачу к следующему параграфу), будем понимать под $v$ среднюю квадратичную скорость молекулы. Тогда ее импульс будет $p=\sqrt{3 m k T}$. Отсюда легко получить для атомов гелия ( $m_{\mathrm{He}}=6,7 \cdot 10^{-24}$ г)
\[
\lambda_{\mathrm{He}}=\frac{1,26}{\sqrt{T}} \text { нм. }
\]

Для молекул водорода
\[
\lambda_{\mathrm{H}_{2}}=\frac{1,78}{\sqrt{T}} \text { нм. }
\]

а для тепловых нейтронов
\[
\lambda_{\mathrm{n}}=\frac{2,52}{\sqrt{T}} \text { нм. }
\]

Эти формулы показывают, что для электронов, ускоренных до потенциала 100-10000 В, для атомов гелия и молекул водорода при комнатной температуре, а также для тепловых нейтронов и других «медленных» легких частиц длины волн де Бройля того же порядка, что и длины волн мягких рентгеновских лучей. Поэтому дифракцию таких частиц надо пытаться искать методами, аналогичными тем, которые применяются в случае рентгеновских лучей. Однако гипотеза де Бройля представлялась настолько фантастичной, что сравнительно долго никто из экспериментаторов не пытался подвергнуть ее экспериментальной проверке.
ЗАДАЧИ
1. Обобщить нерелятивистские формулы (17.15), (17.16) и (17.17) на случай релятивистских электронов и протонов. При каком значении ускоряющего потенциала $V$ можно пользоваться нерелятивистскими формулами, чтобы ошибка не превосходила одного процента?
Ответ.
\[
\lambda=\frac{h}{\sqrt{2 m_{0} e V}}\left(1+\frac{e V}{2 m_{0} c^{2}}\right)^{-1 / 2},
\]

где $m_{0}$ — масса покоя частицы. Для электронов
\[
\lambda_{\mathrm{e}}=\frac{1,2264}{\sqrt{v_{(\mathrm{B})}}}\left(1+0,978 \cdot 10^{-6} V_{(\mathrm{B})}\right)^{-1 / 2} \text { нм, }
\]

для протонов
\[
\lambda_{\mathrm{p}}=\frac{0,02862}{\sqrt{v_{(\mathrm{B})}}}\left(1+0,533 \cdot 10^{-9} V_{(\mathrm{B})}\right)^{-1 / 2} \text { нм. }
\]

Нерелятивистскими формулами при указанной точности расчета можно пользоваться для электронов при $V \lesssim 20$ кэВ, для протонов при $V \lesssim 40$ МэВ.
2. Найти приближенное выражение для длины волны де Бройля ультрарелятивистской частицы, т. е. такой частицы, кинетическая энергия $\mathscr{E}_{\text {кин }}$ которой много больше энергии покоя $m_{0} c^{2}$. При каких значениях $\mathscr{E}_{\text {кин }}$ полученная формула будет давать ошибку, не превосходящую $1 \%$ ? Найти $\lambda$ для ультрарелятивистской частицы с кинетической энергией $\mathscr{E}_{\text {кин }}=10$ ГэВ.

Ответ. $\lambda=h c / \mathscr{E}_{\text {кин }}$. При $\mathscr{E}_{\text {кин }}>100 m_{0} c^{2}$ ошибка не превосходит $1 \%$. При $\mathscr{E}_{\text {кин }}=10$ ГэВ $\lambda=1,25 \cdot 10^{-14}$ см.
3. При какой скорости частицы ее дебройлевская и комптоновская длины волн равны между собой?
Ответ. $v=c / \sqrt{2}$.