Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 1. Создание последовательной теории для описания явлений атомных и субатомных масштабов было начато и вчерне завершено в $1925-$ 1926 гг. Такая теория получила название квантовой механики. Сначала возникло то направление в квантовой механике, которое получило название матричной механики. Ее основные идеи были заложены в основополагающей работе Гейзенберга (1901-1976) «О квантовомеханическом истолковании кинематических и механических соотношений». Систематическое построение матричной механики было дано Борном (1882-1970) и Иорданом (1902-1980), к которым в дальнейшем присоединился и сам Гейзенберг. К этому направлению примыкает и та форма квантовой механики, которая практически одновременно и независимо была разработана Дираком. Немного позже в работах Шредингера (1887-1961) появилось другое направление, названное волновой механикой. Вскоре было выяснено, что эти два направления, отличаясь по форме, тождественны по своему физическому содержанию. В общем курсе нецелесообразно говорить о весьма абстрактной матричной механике. Ограничимся только изложением, далеко не полным, физических представлений волновой механики. Разумеется, мы не можем подробно излагать сложный математический аппарат, составляющий неотъемлемую и весьма важную часть квантовой механики. Это делается в курсах теоретической физики. Пусть частица движется в свободном пространстве с постоянной скоростью $v$. Де Бройль предположил, что с такой частицей связана какая-то плоская монохроматическая волна распространяющаяся в направлении скорости $v^{1}$ ). О природе этой волны, т. е. о физическом смысле функции $\Psi$, де Бройль не мог сказать ничего определенного. Отвлечемся временно и мы от обсуждения этого вопроса. Волны типа (17.1) получили название фазовых волн, волн вещества или волн де Бройля. Попытаемся установить рациональную связь между корпускулярными и волновыми характеристиками частицы, которая совсем не зависит от физической природы величины $\Psi$. Будем руководствоваться требованием, чтобы эта связь была релятивистски инвариантна. Корпускулярные свойства частицы характеризуются ее энергией $\mathscr{E}$ и импульсом $\mathbf{p}$, волновые – частотой $\omega$ и волновым вектором $\mathbf{k}$. Под $\mathscr{E}$ мы будем понимать полную энергию частицы в смысле теории относительности. Она определяется однозначно требованием, чтобы энергия u импульс образовывали четырехмерный вектор ( $\mathscr{E} / c, \mathbf{p}$ ) (см. т. IV, $\S 111$, п. 3 ). Частоту $\omega$ определим из требования, чтобы фаза волны $\omega t-\mathbf{k r}$ была релятивистски инвариантна (см. по этому поводу § 19, п. 9). Тогда $\omega$ и $\mathbf{k}$ будут образовывать четырехмерный вектор $(\omega / c, \mathbf{k})$. Если потребовать, чтобы временные и пространственные компоненты четырехмерных векторов $(\mathscr{E} / c, \mathbf{p})$ и $(\omega / c, \mathbf{k})$ были пропорциональны друг другу, то получатся релятивистски инвариантные соотношения Они будут совпадать с соответствующими соотношениями для фотонов, если для всех частиц $\hbar$ положить равной постоянной Планка, что мы и сделаем. Такой выбор $\hbar$ логически не необходим, а оправдывается последующими результатами. Соотношения (17.2) и (17.3) и были постулированы де Бройлем. Во всякой инерциальной системе отсчета волновой вектор $\mathbf{k}$ определен абсолютно однозначно, поскольку соотношением (17.3) он однозначно выражается через импульс частицы $\mathbf{p}=m v$. Напротив, соотношение (17.2) такой абсолютной однозначностью не отличается. Здесь однозначность навязана искусственно – требованием, чтобы $\mathscr{E}$ и $\omega$ были временными компонентами четырехмерных векторов. В принципе же энергия определена всегда с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Мы увидим далее (см. § 19), что и частоту $\omega$ можно переопределить так, чтобы она также содержала аддитивную постоянную. 3. Рассмотрим некоторые свойства волн де Бройля, вытекающие из соотношений (17.2) и (17.3). Прежде всего из (17.3) получаем выражение для длины волны де Бройля: Эта величина в каждой инерциальной системе отсчета определена однозначно. В релятивистской теории $\mathscr{E}=m c^{2}, p=m v$, где $v$ – скорость частицы, а $m$ – релятивистская масса. В этом случае Поскольку всегда $v \leqslant c$, отсюда следует, что $v_{\phi} \geqslant c$. Для фотонов в вакууме $v=c$, а потому в этом случае $v_{\phi}=c$. Полученный результат не должен нас смущать, поскольку на величину фазовой скорости не накладывается никаких ограничений. $\mathrm{K}$ тому же в дальнейшем будет показано, что, согласно современной физической интерпретации, фазовая скорость волн де Бройля имеет чисто символическое значение, так как эта интерпретация относит ее к числу принципиально ненаблюдаемых величин. Принципиально наблюдаемой величиной является групповая скорость волн де Бройля Эта величина не содержит никакой неопределенности, поскольку не только $d p$, но и приращение энергии $d \mathscr{E}$ определены однозначно. При любой скорости движения частицы $d \mathscr{E}=v d p$, так что всегда Формально можно образовать величину, аналогичную длине волны де Бройля (17.4). Для этого заметим, что длина четырехмерного вектора энергии-импульса частицы в пространстве Минковского равна $\sqrt{(\mathscr{E} / c)^{2}-p^{2}}$. Это есть инвариант, равный $m_{0} c$, где $m_{0}$ – масса покоя частицы. Поделив на него постоянную Планка $h$, получим инвариантную величину имеющую размерность длины. Она представляет собой комптоновскую длину частицы. Таким образом, формально $\lambda_{\mathrm{K}}$ можно рассматривать стационарного состояния не получится. Исходя из этих соображений, де Бройль записал условие стационарности орбиты, или правило квантования, в виде где $R$ – радиус круговой орбиты, а $n$ – целое число (главное квантовое число). Полагая здесь $\lambda=h / p=2 \pi \hbar / p$ и замечая, что $L=R p$ есть момент количества движения электрона, получим что совпадает с условием (13.6). В этом де Бройль видел успех своей концепции фазовых волн. В дальнейшем условие (17.11) удалось обобщить и на случай эллиптических орбит, когда длина волны $\lambda$ меняется вдоль траектории электрона. Казалось, что это еще больше усиливало успех теории. На самом деле этот успех призрачный. В рассуждении де Бройля предполагается, что волна распространяется не в пространстве, а вдоль линии – вдоль стационарной орбиты электрона. Такая идеализация соответствует приближению геометрической (лучевой) оптики. Этим приближением можно пользоваться в предельном случае, когда длина волны $\lambda$ пренебрежимо мала по сравнению с радиусом орбиты электрона, т.е. при больших квантовых числах. А тогда проблема квантования несущественна. Чтобы действительно получить существенно новое, надо заменить геометрическую оптику волновой. Это и было сделано Шредингером. Определяемый этой формулой показатель преломления условно будем называть абсолютным. Формула (17.13) сохраняет смысл и в том случае, когда скорость частицы $v$ меняется от точки к точке, т.е. при наличии силовых полей. Скорость $v$, а с ней и $\mu$ в каждой точке однозначно определяются уравнением энергии $\mathscr{E}+U=$ const, в котором предполагается, что потенциальная функция $U$ зависит только от координат, но не зависит явно от времени. В предельном случае коротких длин волн распространение последних происходит вдоль независимых линий или лучей (см. т. IV, § 6). Этот случай называется геометрической или лучевой оптикой. Распространение волнового возмущения вдоль лучей формально аналогично движению частицы классической механики по траекториям. Радиус кривизны $R$ луча или траектории частицы определяется формулой где дифференцирование производится в направлении главной нормали $\mathbf{N}$ к лучу или траектории (см. т. IV, § 4). Эта формула, конечно, может быть использована (вместо уравнений Ньютона) для определения формы луча или траектории частицы. Вернемся теперь к выводу правила квантования, данному де Бройлем. Условие применимости геометрической оптики к движению электрона вокруг ядра атома выражается формулой Подставив сюда $\lambda=2 \pi \hbar / p, \mu=v$ и ограничиваясь нерелятивистским приближением, запишем это так: где $K$ – кинетическая энергия электрона. Скорость $v$ найдется из уравнения энергии Отсюда находим где $U$ – потенциальная энергия. Если электрон движется по окружности, то $m v r=n \hbar$, а потому так как при движении по окружности $\mathscr{E}+K=0$. Сопоставляя полученное соотношение с неравенством (17.14a), находим Для электронов, ускоренных разностью потенциалов $V$, импульс определяется формулой $p=\sqrt{2 m_{\mathrm{e}} e V}$, так что в абсолютной системе единиц Положим здесь $h c=1,2399 \cdot 10^{-4}$ эВ $\cdot$ см, $m_{\mathrm{e}} c^{2}=511003$ эВ. Тогда получится практическая формула Для протонов Вычислим еще длину волны де Бройля для молекул неподвижного газа при абсолютной температуре $T$. Задача эта – не совсем определенная, поскольку молекулы движутся с тепловыми скоростями, распределенными по закону Максвелла. Не вдаваясь в обоснование (см. задачу к следующему параграфу), будем понимать под $v$ среднюю квадратичную скорость молекулы. Тогда ее импульс будет $p=\sqrt{3 m k T}$. Отсюда легко получить для атомов гелия ( $m_{\mathrm{He}}=6,7 \cdot 10^{-24}$ г) Для молекул водорода а для тепловых нейтронов Эти формулы показывают, что для электронов, ускоренных до потенциала 100-10000 В, для атомов гелия и молекул водорода при комнатной температуре, а также для тепловых нейтронов и других «медленных» легких частиц длины волн де Бройля того же порядка, что и длины волн мягких рентгеновских лучей. Поэтому дифракцию таких частиц надо пытаться искать методами, аналогичными тем, которые применяются в случае рентгеновских лучей. Однако гипотеза де Бройля представлялась настолько фантастичной, что сравнительно долго никто из экспериментаторов не пытался подвергнуть ее экспериментальной проверке. где $m_{0}$ – масса покоя частицы. Для электронов для протонов Нерелятивистскими формулами при указанной точности расчета можно пользоваться для электронов при $V \lesssim 20$ кэВ, для протонов при $V \lesssim 40$ МэВ. Ответ. $\lambda=h c / \mathscr{E}_{\text {кин }}$. При $\mathscr{E}_{\text {кин }}>100 m_{0} c^{2}$ ошибка не превосходит $1 \%$. При $\mathscr{E}_{\text {кин }}=10$ ГэВ $\lambda=1,25 \cdot 10^{-14}$ см.
|
1 |
Оглавление
|