Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 1. Внутреннее движение покоящегося тела может быть описано указанием движения каждой индивидуальной частицы, из которых состоит тело. Такой способ может быть назван индивидуалъным описанием движения. Но возможен и коллективный способ, когда движение тела в целом рассматривается как результат наложения движений, в каждом из которых участвуют все частицы тела. Второй способ может обладать преимуществом в тех случаях, когда частицы тела взаимодействуют друг с другом. Тогда разложение полного движения тела на составляющие коллективные движения может быть произведено так, чтобы каждое составляющее коллективное движение могло быть возбуждено в отдельности. Если возбужденное движение тела не очень интенсивно, то оно всегда может быть разложено на плоские монохроматические волны различных частот, распространяющиеся в теле в различных направлениях практически независимо друг от друга. При увеличении интенсивности возбуждения наступают нелинейные явления. Однако если отступления от линейности не очень значительны, то по-прежнему можно пользоваться разложением на плоские монохроматические волны, но между отдельными волнами возникает взаимодействие. Оба способа описания движения в классической физике принципиально равноправны. Но в квантовой физике преимущество отдается второму способу. Причина этого заключается в квантовании. Уже Дебай в теории теплоемкости твердого тела (см. § 54) с успехом подверг квантованию энергию стоячих монохроматических волн, на которые может быть разложено движение тела. В вопросе о теплоемкости проводить дальнейшее разложение стоячих волн на бегущие не обязательно, поскольку в этом случае интерес представляет энергия тела в состоянии статистического равновесия, а, например, не его импульс, который для покоящегося тела равен нулю в любой момент времени. Но при рассмотрении различных процессов в телах, даже при наличии локального статистического равновесия, надо перейти к разложению движения на бегущие волны и к их квантованию. В соответствии с гипотезой де Бройля, подтвержденной опытными фактами, с каждой бегущей монохроматической волной связаны энергия и импульс, определяемые соотношениями введенными по аналогии с теорией фотонов. Волна, несущая энергию и импульс, определяемые формулами (57.1), в каком-то отношении ведет себя как частица. Частица, уподобляемая звуковой волне в вышеуказанном смысле, называется фононом. Не надо вкладывать в представление о фононе нечто большее, чем то, что содержится в этом определении. Фонон несет энергию и импульс, связанные с частотой волны $\omega$ и волновым вектором $\mathbf{k}$ посредством постоянной Планка $\hbar$. Но бессмысленно, например, говорить о форме и размерах фонона, представляя его каким-то маленьким шариком. Поэтому фонон называют не «частицей», а «квазичастицей», а его импульс – «квазиимпульсом». В пп. 3 и 4 будут приведены дальнейшие соображения, оправдывающие эту терминологию. Строго определенные значения величины $\omega$ и $\mathbf{k}$ имеют только в случае неограниченных плоских волн. Реальное же существование имеют только пространственно ограниченные волны. Реальным образом фонона является не бесконечная, а ограниченная волна, например волновой пакет. Поэтому где $\varepsilon=N \hbar \omega-$ объемная плотность звуковой энергии, падающей на тело. Формула (57.2) справедлива и в общем случае нормального падения волны при наличии отражения и прохождения. Только в этом случае плотность энергии дается выражением $\varepsilon=(1+r) N \hbar \omega$, где $r$ – коэффициент отражения. Полученные результаты согласуются с опытом и с тем, что дает классическая гидродинамика. Волновой вектор $\mathbf{k}$ волны в кристаллической решетке определен не однозначно, а с точностью до слагаемого, равного вектору обратной решетки (см. § 56, п. 6). В соответствии с этим и вектор $\mathbf{p}=\hbar \mathbf{k}$ определен также неоднозначно. Но можно устранить эту неоднозначность, если ограничить область изменения $\mathbf{k}$ основной зоной Бриллюэна, что мы и будем делать. Так однозначно определенный вектор р называется квазиимпульсом фонона. Самый фонон, поскольку ему свойственны признаки частицы, называется квазичастицей, о чем уже было сказано раньше. Такой термин вводится, чтобы подчеркнуть, что квазичастица не является «настоящей» частицей. Квазичастицы вводятся и в других разделах физики. Так, квазичастицами являются фотоны в вакууме и в особенности в среде. Представление о них согласуется с такими явлениями, как интерференция, эффект Доплера, эффект Вавилова-Черенкова, изменение частоты света при распространении в гравитационном поле. Мы уже рассматривали эти явления с точки зрения существования квазичастиц света, хотя и не пользовались самим термином «квазичастица». Фононы и вообще квазичастицы хорошо приспособлены для описания слабых коллективных возбуждений в телах. Между последовательными столкновениями фонон движется свободно, и если «длина свободного пробега» его достаточно велика по сравнению с постоянной кристаллической решетки, то возбужденное состояние кристалла можно в известном отношении рассматривать как фононный газ. При этом число фононов не сохраняется, что дает основание рассматривать их как бозе-частицы (бозоны). На рис. 101 графически изображены примеры возможных взаимодействий фононов. Фононы изображены стрелками, а факты их взаимодействия – кружками. Рисунок $101 a$ соответствует распаду фонона При взаимодействии фононов соблюдается закон сохранения энергuи. В случае процесса, изображенного на рис. $101 a$, он записывается в виде и аналогично в других случаях. Однако закон сохранения квазиимпульса может $u$ не соблюдатъся. Причиной этого является неоднозначность волнового вектора $\mathbf{k}$, отмеченная выше. Действительно, разложим, например, вектор $\mathbf{k}$ на два вектора: $\mathbf{k}=\mathbf{k}_{1}^{\prime}+\mathbf{k}_{2}^{\prime}$ (рис. 102). Вектор $\mathbf{k}$ предполагается лежащим в основной зоне Бриллюэна, так что при нашем ограничении $\hbar \mathbf{k}$ является квазиимпульсом. Но предположим, что составляющие векторы $\mathbf{k}_{1}^{\prime}$ и $\mathbf{k}_{2}^{\prime}$ (или по крайней мере один из них) настолько длинны, что они не умещаются в основной зоне Бриллюэна. Тогда, при нашем ограничении, векторы $\hbar \mathbf{k}_{1}^{\prime}$ и $\hbar \mathbf{k}_{2}^{\prime}$ не будут квазиимпульсами. Квазиимпульсы $\hbar \mathbf{k}_{1}$ и $\hbar \mathbf{k}_{2}$ получаются из них путем прибавления векторов вида $2 \pi n \mathbf{K}$, где $\mathbf{K}$ – вектор обратной решетки (56.15), а $n=0, \pm 1, \ldots$. Например, для процесса, соответствующего рис. $101 a$, следует писать Если $n=0$, то в процессе взаимодействия фононов квазиимпульс сохраняется. Такие процессы называются нормальными. Если же $n Конечно, соотношения вида (57.3) и (57.4) справедливы не только при взаимодействии фононов между собой, но и при взаимодействии их с другими частицами и квазичастицами, например с фотонами. При переводе на классический язык эти соотношения выражают законы интерференции волн, принцип Доплера и вообще законы изменения частоты волн при различных процессах. Вот почему комбинационное рассеяние света, рассеяние Мандельштама-Бриллюэна, эффект Вавилова-Черенкова, изменение частоты света при распространении в гравитационном поле и другие явления могут быть истолкованы как с волновой точки зрения, так и с помощью представления о квазичастицах. которую дает элементарная теория газов (см. т. II, § 89). Здесь $C$ – теплоемкость единицы объема тела (в прежних обозначениях $C=n m c_{v}$ ), $\bar{v}$ – средняя скорость фонона в теле, $\lambda$ – средняя длина свободного пробега фонона. Величина $\bar{v}$ имеет смысл средней скорости звука в теле, $C$ определяется в квантовой теории теплоемкости твердого тела. Обе эти величины могут быть измерены экспериментально. Наибольшие трудности встречает определение величины $\lambda$. В гармоническом (линейном) приближении звуковые волны (фононы) распространяются в идеальном кристалле, не встречая никаких препятствий. В этом приближении нет столкновений между фононами. Если бы кристалл был безграничным, то $\lambda$, а с ней и теплопроводность $\varkappa$ были бы бесконечно большими. В следующих приближениях, когда в потенциальной энергии решетки учитываются члены третьей и высших степеней относительно смещений атомов из положений равновесия, появляются столкновения между фононами, ограничивающие их длины свободного пробега. Основное значение имеют члены третьей степени, приводящие к тройным столкновениям (см. рисунки 101 а и 101 б). Возникает вопрос, почему приведенные рассуждения неприменимы к теплопроводности газа, состоящего из обычных частиц (атомов и молекул), хотя в этом случае при столкновениях также соблюдаются законы сохранения энергии и импульса? Дело в том, что при столкновениях частиц обычного газа они не уничтожаются и не рождаются. Налетающая частица, сама не уничтожаясь, при столкновении передает импульс и энергию уже существующим, а не рождающимся вновь частицам. При этом в газе нет переноса вещества, а передача энергии не полная. Энергия ударяющей частицы в результате столкновения может и уменьшаться, и увеличиваться Но если в газе есть градиент температуры, то энергия «горячих» частиц преимущественно уменьшается, а «холодных» увеличивается. Благодаря этому в газе и возникает поток тепла, направленный в сторону более низкой температуры. Из приведенных рассуждений следует, что теплопроводность идеального кристалла может быть связана толъко с такими столкновениями фотонов, которые сопровождаются процессами перебро$c a$, так как при этих столкновениях не соблюдается закон сохранения квазиимпульса. Значит, только эти столкновения и должны быть приняты во внимание при вычислении средней длины свободного пробега фонона, входящей в формулу (57.5). Вблизи абсолютного нуля температур, когда тепловых фононов практически нет, средняя длина свободного пробега фонона ограничивается размерами кристалла. Здесь дело обстоит аналогично тому, что имеет место в случае ультраразреженных газов, когда длина свободного пробега молекулы велика по сравнению с размерами сосуда, в котором заключен газ (см. т. II, §95). Полагая в формуле (57.5) $\lambda=l$, где $l-$ размеры кристалла, мы получим величину $\varkappa$, которая будет характеризовать не только внутренние свойства кристалла, но будет зависеть и от его размеров. При низких температурах скорость $\bar{v}$ практически постоянна, а теплоемкость по теории Дебая пропорциональна $T^{3}$, поэтому и теплопроводность кристалла будет также пропорциональна $T^{3}$. При повышении температуры влияние размеров кристалла отойдет на второй план. Определяющими будут столкновения между фононами, сопровождающиеся процессами переброса. За счет этого, а также за счет увеличения теплоемкости произойдет и быстрое увеличение теплопроводности. В этой области температур величина $\lambda$, а с ней и теплопроводность $\varkappa$ кристалла уже перестают зависеть от размеров кристалла, а становятся только его внутренними свойствами. В области высоких температур можно ожидать зависимости $\varkappa \sim 1 / T$. Действительно, в этой области справедлив классический закон равномерного распределения кинетической энергии по степеням свободы, в силу которого энергии всех фононов становятся одинаковыми (не зависящими от частоты $\omega$ ). Поэтому плотность фононов $N$ пропорциональна плотности энергии, т.е. $T$, а теплоемкость $C$ достигает классического предела, который не зависит от $T$. Поэтому средняя длина свободного пробега фонона $\lambda \sim 1 / N$, а с ней и теплопроводность $\varkappa$ становятся пропорциональными $1 / T$. Из изложенного ясно, что при повышении температуры теплопроводность диэлектрического кристалла должна проходить через максимум. Это отчетливо проявляется на рис. 103, где приведена экспериментальная кривая теплопроводности, полученная для искусственного сапфира $\left(\mathrm{Al}_{2} \mathrm{O}_{3}\right)$. Максимум на кривых для различных веществ проявляется не всегда так резко. Причиной этого яв- Рис. 103 ляются примеси и дефекты кристаллической решетки, вносящие дополнительное теплосопротивление и уменьшающие ее теплопроводность. Искомое давление $\mathscr{P}$ равно нормальной составляющей импульса, которую передает звук единице границы раздела сред: Так как сплошная среда не обладает дисперсией, то $p c=\varepsilon$. Поэтому, используя значения $N_{1}^{\prime}$ и $N_{2}$, приведенные выше, и вводя плотность энергии падающей звуковой волны $\mathscr{E}=N_{1} \varepsilon$, получим 2. Используя представление о фононах, получить формулу для тонкой структуры Мандельштама-Бриллюэна (см. т. IV, § 99). Решение. Связь между энергией и импульсом для света в среде (фотона) и звука (фонона) имеет вид где $c$ – скорость света в вакууме, а $v_{3 \text { в }}$ – скорость звука (фонона) в среде. $\mathrm{K}$ таким же соотношениям приводит и классическая теория. Уравнения сохранения энергии и импульса при излучении и поглощении фонона: где плюс перед скобками относится к излучению, а минус – к поглощению фонона. Нештрихованными величинами обозначены энергия и импульс фотона до, а штрихованными – после излучения или поглощения фонона. Второе уравнение умножим на $c / n$, возведем оба уравнения в квадрат, а затем почленно вычтем. Тогда, используя связь между энергией и импульсом, получим где $\theta$ – угол между направлениями падающего и рассеянного фотонов. В последнем уравнении слева единицей в скобках можно пренебречь, а справа $\mathscr{E}_{\text {фот }}^{\prime}$ заменить на $\mathscr{E}_{\text {фот }}$, так как энергия фонона пренебрежимо мала. Сделав это и извлекая квадратный корень, получим или Это соотношение – чисто классическое. При его выводе были использованы только законы сохранения энергии и импульса, а также связь между энергией и импульсом для света и звука, которая также является классической. Переход от энергии к частоте производится уже с помощью квантовых соотношений $\mathscr{E}_{\text {фот }}=\hbar \omega$ и $\mathscr{E}_{\text {зв }}=\hbar \omega_{\text {фон }}$, причем существенно, что в обоих соотношениях постоянная $\hbar$ – одна и та же. В результате при квантовой интерпретации получается такая же формула как и в классической теории. Однако окончательный результат совершенно не зависит от числового значения постоянной Планка.
|
1 |
Оглавление
|