1. В XIX веке считалось, что опытом Фуко окончательно опровергнута корпускулярная теория света. Этот опыт доказал, что скорость света в воде меньше, чем в вакууме. Однако по волновой теории такое соотношение между скоростями относится к фазовой скорости света. В опыте же Фуко, если бы свет действительно представлял собой волны, то измерялась бы групповая скорость (см. т. IV, § 108). Поэтому с чисто логической точки зрения аргументация физиков XIX века должна быть дополнена указанием на то, что в опыте Фуко скорость света измерялась в практически недиспергирующих средах. В этом случае фазовая скорость совпадает с групповой. Заключение о несостоятельности корпускулярной теории остается верным, с той существенной оговоркой, что оно относится не к корпускулярной теории вообще, а к корпускулярной теории в форме Нъютона. Как же обстоит дело в фотонной теории Эйнштейна?

Отражение и преломление света в корпускулярной теории Ньютона рассматривалось на основе классической ньютоновской механики. K фотонам классическая механика неприменима. Природа фотонов двойственная. При распространении они ведут себя как волны и только при взаимодействии с веществом проявляют свойства частиц. А поскольку отражение и преломление являются специальными случаями распространения света, фотонная теория при рассмотрении этих явлений должна приводить к тем же результатам, что и классическая волновая теория.
2. Этот вопрос заслуживает более подробного рассмотрения, которое и приводится ниже. В среде, как и в вакууме, можно ввести представление о распространении света в виде фотонов. При этом среду мы будем считать неподвижной. Иными словами, будем рассматривать явления в системе отсчета, относительно которой среда неподвижна. Такая система является выделенной, или привилегированной. Вопрос заключается в том, каковы энергия и импульс фотона в среде? Заметим, что энергия и импульс фотона слагаются из энергии и импульса электромагнитного поля и среды. Но в нашем рассмотрении идет речь о сумме этих величин, т.е. о полных энергии и импульсе, связанных с распространением фотона в среде. Среду мы будем считать изотропной и характеризовать ее свойства показателем преломления $n(\omega)$.

По фотонным представлениям при отражении и преломлении общее число фотонов не меняется. Если граница неподвижна, то не меняются и энергии отраженного и прошедшего фотонов. Докажем это утверждение сначала для отражения, предполагая, что фотон падает на среду из вакуума. Энергия падающего фотона $\mathscr{E}_{e}=\hbar \omega$, т.е. однозначно определяется частотой $\omega$. Такое же соотношение между энергией и частотой должно существовать и для отраженного фотона, поскольку он распространяется в таком же вакууме, как и падающий фотон. Но при отражении от неподвижной границы частота $\omega$ не меняется. В противном случае происходило бы изменение цвета отраженного луча, чего на самом деле не происходит. Таким образом, энергия отраженного фотона $\mathscr{E}_{r}$ также равна $\hbar \omega$, т. е. $\mathscr{E}_{r}=\mathscr{E}_{e}$.
3. Для прошедшего фотона указанное утверждение не столь очевидно. Чтобы его доказать, рассмотрим плоскопараллельный пучок, состоящий из $N_{e}$ монохроматических фотонов, падающий из вакуума под любым углом на неподвижную границу среды. Пусть число отраженных фотонов будет $N_{r}$, прошедших $N_{d}$, а соответствующие им энергии $\mathscr{E}_{r}$ и $\mathscr{E}_{d}$. По закону сохранения энергии
\[
N_{e} \mathscr{E}_{e}=N_{r} \mathscr{E}_{r}+N_{d} \mathscr{E}_{d}
\]

Условие сохранения общего числа фотонов:
\[
N_{e}=N_{r}+N_{d} .
\]

Наконец, по доказанному $\mathscr{E}_{r}=\mathscr{E}_{e}$. Отсюда получается $\mathscr{E}_{d}=\mathscr{E}_{e}$, что и требовалось доказать. Таким образом, и для фотонов в среде справедливо соотношение $\mathscr{E}=\hbar \omega$.

Рассмотрим теперь импульс фотона в среде. Как и в случае энергии, можно написать
\[
N_{e} p_{e}=N_{r} p_{r}+N_{d} p_{d}, \quad N_{e}=N_{r}+N_{d},
\]

где индексы $e, r, d$ относятся к падающему, отраженному и прошедшему фотонам. Рассмотрим сначала поведение касательных составляющих импульсов. Направим ось $X$ вдоль границы раздела, а ось $Z-$ перпендикулярно к ней. Любая теория должна приводить к закону отражения, из которого следует, что $p_{e x}=p_{r x}$. Но тогда для $p_{e x}$, $p_{r x}, p_{d x}$ получается в точности такая же система уравнений, как и для соответствующих энергий. Из нее находим
\[
p_{e x}=p_{r x}=p_{d x},
\]
т. е. касательные составляющие импульсов всех трех фотонов одинаковы.

Совсем иначе ведут себя нормальные составляющие. В этом случае по-прежнему
\[
N_{e} p_{e z}=N_{r} p_{r z}+N_{d} p_{d z} .
\]

Однако если падающий фотон приближается к среде, то отраженный удаляется от нее, так что $p_{r z}=-p_{e z}$. В результате получится
\[
\left(N_{e}+N_{r}\right) p_{e z}=N_{d} p_{d z},
\]

или
\[
\left(N_{e}+N_{r}\right) p_{e z}=\left(N_{e}-N_{r}\right) p_{d z},
\]

или, наконец,
\[
p_{d}=\frac{N_{e}+N_{r}}{N_{e}-N_{r}} \frac{\cos \varphi}{\cos \psi} p_{e}
\]

где $\varphi$ – угол падения, а $\psi$ – угол преломления.
Конечно, связь между $p_{d}$ и $p_{e}$ определяется свойствами среды и не может зависеть от характера поляризации падающего света. Это позволяет упростить вычисления. Предположим, что падающий свет поляризован перпендикулярно к плоскости падения. Тогда электрические векторы всех фотонов будут коллинеарны, так что на основании формулы Френеля
\[
\frac{N_{r}}{N_{e}}=\frac{n \cos \psi-\cos \varphi}{n \cos \psi+\cos \varphi}
\]
(см. т. IV,$\S 65$ ). Действительно, в монохроматической волне все фотоны когерентны, и поэтому $N_{r} / N_{e}$ дает отношение амплитуд, а не интенсивностей отраженной и падающей волн. Выбор знака в последней формуле определен из тех соображений, что числа фотонов $N_{r}$ и $N_{e}$ существенно положительны. В результате получается
\[
p_{d}=n p_{e} .
\]
4. Резюмируя изложенное, приходим к заключению, что, как и в вакууме, энергия и импульс фотона в веществе определяются формулами
\[
\mathscr{E}=\hbar \omega, \quad \mathbf{p}=\hbar \mathbf{k}
\]

Однако в веществе волновое число
\[
k=n \omega / c,
\]
т. е. в $n$ раз больше, чем в вакууме. Если ввести фазовую скорость $v=$ $=c / n$ и длину волны $\lambda=2 \pi v / \omega$ в рассматриваемой среде, то получатся формулы
\[
k=\omega / v=2 \pi / \lambda,
\]

одинаково применимые к вакууму и веществу, так как в вакууме $v=c$. Связь между энергией и импульсом фотона в среде принимает вид
\[
\mathscr{E}=p v=p c / n .
\]

Разумеется, это соотношение справедливо только в привилегированной системе отсчета, в которой среда покоится.

Из изложенного видно, что фотонная теория преломления света аналогична ньютоновской. Обе теории определяют угол преломления светового луча из закона сохранения импульса, точнее – его тангенциальной составляющей. Только ньютоновская теория связывает этот закон с направлением силы, действующей на световую корпускулу нормально к границе раздела, что в случае фотона лишено смысла. Количественное же различие между результатами обеих теорий связано с тем, что импульс нъютоновской корпускулы пропорционален ее скорости $v$, а импульс фотона в среде обратно пропорционален. По этой причине фотонная теория приводит к такому же выражению для показателя преломления, как и классическая волновая теория.

Представление о фотонах в среде применимо не только к преломлению света, но и ко многим другим явлениям, о которых говорится в последующих параграфах.
5. В заключение – одно принципиальное замечание, затрагивающее уже физическое толкование корпускулярно-волнового дуализма. Как уже было отмечено выше, общее число фотонов при отражении и преломлении не меняется. Если на границу раздела падает всего один фотон, то после падения он будет обнаружен либо в виде отраженного, либо в виде прошедшего фотона. Импульс у отраженного фотона такой же по величине, как и у падающего, но имеет иное направление. Импульс прошедшего фотона меняет не только направление, но и величину. Не является ли это нарушением закона сохранения импульса в элементарном процессе, т. е. для единичного фотона? Не является ли этот закон лишь статистическим законом, как это фактически требовалось в пп. 2 и 3 ? Такое заключение отвергается современной квантовой теорией.

Явления интерференции фотонов приводят к заключению, что при падении фотона на границу раздела возникает новое состояние, не поддающееся описанию на языке классической теории. Оно характеризуется тем, что фотон отчасти находится о состоянии отражения, отчасти в состоянии преломления. Закон сохранения импульса соблюдается и в элементарном процессе. Если же произвести опыт по обнаружению фотона (в квантовой механике его называют измерением), то будет обнаружен либо отраженный, либо прошедший фотон. Но измерение меняет состояние системы, нарушения закона сохранения импульса не происходит. В каком состоянии будет обнаружен фотон, в состоянии отражения или в состоянии преломления, – это заранее предсказать с достоверностью невозможно. Можно указать лишь вероятности того и другого состояний.