1. О размерах ядра нельзя говорить с той же определенностью и однозначностью, как это делается в случае макроскопических тел. Наибольшей определенностью характеризуются размеры тяжелых ядер.

Различные методы определения размеров ядер можно разделить на две группы. В одних методах регистрируется наличие ядерного вещества – в них используются явления, обусловленные ядерными силами (или так называемыми сильными взаимодействиями). В других используются электромагнитные взаимодействия и исследуется распределение электрического заряда в ядре. Обе группы методов приводят к несколько различным результатам. В точных исследованиях необходимо указывать, в каком смысле употребляется понятие размера ядра и какими методами были определены эти размеры. Однако различия между результатами измерений размеров ядра разными методами не так велики. Когда не требуется особая точность, можно не вдаваться в подробности и говорить о «размерах ядра» вообще, не уточняя, о какой величине идет речь.

Если ядро считать сферическим, то все методы определения его радиуса приводят к формуле
\[
R=r_{0} A^{1 / 3} .
\]

Для постоянной $r_{0}$ для тяжелых ядер различными методами получаются несколько отличающиеся результаты, но все они лежат в пределах
\[
r_{0}=(1,2-1,5) \cdot 10^{-13} \text { см. }
\]

Заметим, что за единицу расстояний в ядерной физике и физике элементарных частиц удобно принимать ферми, равный $10^{-13}$ см, а за единицу эффективного сечения бари ( $\left.10^{-24} \mathrm{~cm}^{2}\right)$.

Характерная скорость $\alpha$-частиц, испускаемых радиоактивными ядрами, порядка $10^{9} \mathrm{~cm} / \mathrm{c}$. Время, в течение которого $\alpha$-частица пролетает диаметр ядра, порядка $T_{\text {яд }} \approx 10^{-13}: 10^{9} \approx 10^{-22}$ с. Время порядка $10^{-23}-10^{-24}$ с принято называть ядерным временем.
Ниже рассматриваются некоторые методы определения $R$ и $r_{0}$.
2. Верхний предел радиуса ядра можно грубо определить уже из опытов Резерфорда по рассеянию $\alpha$-частиц на атомных ядрах (см. § 9). Пусть $p$ – импульс $\alpha$-частицы, $m$ – ее масса, а $\mathscr{E}_{\text {кин }}=p^{2} / 2 m-$ кинетическая энергия. Так как при столкновении импульс сохраняется, а ядро до столкновения можно считать неподвижным, то кинетическая энергия после столкновения, связанная с движением центра масс системы, будет $p^{2} / 2(M+m)$, где $M$ – масса ядра. Для тяжелых ядер этой величиной можно пренебречь, т. е. считать, что при упругом столкновении с ядром кинетическая энергия $\alpha$-частицы не изменяется. В таком случае расстояние $R$ между центрами ядра и частицы, соответствующее максимальному сближению $\alpha$-частицы с ядром, определится из формулы $\mathscr{E}_{\text {кин }}=2 Z e^{2} / R$. При численных расчетах величину $\mathscr{E}_{\text {кин }}$ удобно представить в виде $\mathscr{E}_{\text {кин }}=2 e V$, где $2 e$ – заряд $\alpha$-частицы, а $V$ – «ускоряющий потенциал», соответствующий энергии $\mathscr{E}_{\text {кин }}$. Тогда $R=Z e / V$. Для золота $Z=79$. «Ускоряющий потенциал» $\alpha$-частицы $V=5 \mathrm{MB}=(5 / 3) \cdot 10^{4}$ СГСЭ. В этом случае
\[
R=\frac{79 \cdot 4,8 \cdot 10^{-10}}{(5 / 3) \cdot 10^{4}}=2,3 \cdot 10^{-12} \mathrm{~cm} .
\]

Поскольку для энергии $\mathscr{E}_{\text {кин }}=5 \mathrm{M}$ эВ (и даже несколько большей) результаты опытов хорошо согласуются с теоретической формулой Резерфорда, отсюда следует, во-первых, что сумма радиусов ядра и $\alpha$ частицы во всяком случае меньше $2 \cdot 10^{12}$ см, во-вторых, что на расстояниях $2 \cdot 10^{12}$ см взаимодействие между $\alpha$-частицей и ядром чисто электрическое и подчиняется закону Кулона.
3. Радиус ядра можно оценить с помощью полуэмпирической формулы Вейцзеккера (64.6). Третий член этой формулы $-C_{\text {кул }} Z^{2} A^{-1 / 3}$ связан с кулоновским отталкиванием протонов ядра. Если предположить, что электрический заряд ядра равномерно распределен по его объему, то электрическая энергия ядра будет $(3 / 5) Z^{2} e^{2} / R$. Эта величина должна быть равна $C_{\text {кул }} Z^{2} A^{-1 / 3}$. Постоянную $C_{\text {кул }}$ удобно представить в виде $C_{\text {кул }}=e V_{\text {кул }}$, где согласно (64.7) $V_{\text {кул }}=0,71 \mathrm{MB}=$ $=2370$ СГСЭ. Это дает
\[
R=\frac{3}{5} \frac{e A^{1 / 3}}{V_{\text {кул }}}=r_{0} A^{1 / 3},
\]

где
\[
r_{0}=\frac{3}{5} \frac{e}{V_{\text {кул }}}=\frac{3}{5} \frac{4,8 \cdot 10^{-10}}{2370}=1,22 \cdot 10^{-13} \text { см. }
\]

Очевидно, этим методом измеряется «электрический радиус» ядра, т. е. радиус, обусловленный взаимодействием электрических зарядов. Надо заметить, что непрерывность и равномерность распределения электрического заряда в ядре, использованную в приведенной оценке, следует рассматривать не как предположение, а как точное определение того, что следует понимать под «электрическим радиусом» ядра.

Особым изяществом рассматриваемый метод отличается в применении к двум зеркальным ядрам, из которых одно, испытав $\beta$ превращение, переходит в другое. Допустим, например, что это есть $\beta^{+}$-превращение (позитронный распад). Пусть $Z$ и $A-Z$ – числа протонов и нейтронов исходного ядра. Тогда после $\beta^{+}$-превращения оно переходит в зеркальное ядро с $Z-1$ протонами и $A-Z+1=Z$ нейтронами. Из последнего соотношения для исходного ядра получается $A-2 Z=-1$, а для зеркального ядра $A-2(Z-1)=+1$. Поэтому для обоих зеркальных ядер четвертый член в формуле Вейцзеккера (64.6) будет одним и тем же. Последнее слагаемое в той же формуле в обоих случаях равно нулю, так как при $\beta$-превращении массовое число $A$ не меняется, а оно, как мы видели, нечетное. Таким образом, энергии связи обоих зеркальных ядер отличаются только третьим слагаемым. Поэтому разность энергий связи конечного и исходного ядра будет
\[
\begin{array}{r}
\Delta \mathscr{E}_{\mathrm{cв}}=-C_{\text {кул }}(Z-1)^{2} A^{-1 / 3}+C_{\text {кул }} Z^{2} A^{-1 / 3}=C_{\text {кул }} A^{-1 / 3}(2 Z-1)= \\
=C_{\text {кул }} A^{2 / 3} .
\end{array}
\]

Измерив $\Delta \mathscr{E}_{\text {св }}$ и зная $A$ можно найти $C_{\text {кул }}$, а затем вышеописанным способом и радиус ядра $R$. Разумеется, приведенное рассуждение применимо и к зеркальным ядрам, одно из которых испытывает $\beta^{-}$-распад (электронный распад).

4. Размеры атомных ядер можно исследовать, изучая рассеяние на ядрах нейтронов, электронов и других элементарных частиц. Для достаточно заметного рассеяния необходимо, чтобы длина дебройлевской волны $\lambda$ рассеиваемой частицы была того же порядка или меньше, что и диаметр ядра. Выразим это условие через энергию частицы. Исходной является формула $\lambda=h / p$. Будем считать нейтрон нерелятивистским и воспользуемся формулой $\mathscr{E}_{\text {кин }}=p^{2} / 2 m$. Из нее в комбинации с предыдущей формулой получается
\[
\mathscr{E}_{\text {кин }}=\frac{h^{2}}{2 m \lambda^{2}}=\frac{(h c)^{2}}{2\left(m c^{2}\right) \lambda^{2}} .
\]

Подставив сюда для нейтрона $m c^{2}=939,6$ МэВ, а также $h c=1,2399 \times$ $\times 10^{-10} \mathrm{M}$ Э $\cdot$ см, получим
\[
\mathscr{E}_{\text {кин }}=\frac{8,18}{\lambda^{2}} \cdot 10^{-24} \mathrm{M}
i \mathrm{B} .
\]

Для ультрарелятивистских частиц, к которым относятся быстрые электроны, $\mathscr{E} \approx \mathscr{E}_{\text {кин }}=h
u$, т. е.
\[
\mathscr{E}_{\text {кин }}=\frac{h c}{\lambda}=\frac{1,2399}{\lambda_{\text {см }}} \cdot 10^{-10} \text { МэВ. }
\]

Если в качестве $\lambda$ взять $2 \cdot 10^{-12}$ см, то получится для нейтрона $\mathscr{E}_{\text {кин }} \approx 2 \mathrm{M}
i \mathrm{B}$, а для ультрарелятивистского электрона $\mathscr{E}_{\text {кин }} \approx 60 \mathrm{M}$ эВ. Таким образом, кинетическая энергия нейтронов должна превосходить 5 МэВ, а электронов – 100 МэВ.
5. Количественное описание производится наглядно с помощью так называемого эффективного сечения ядра. Напомним это понятие. Эффективное сечение вводится, в частности, для характеристики ослабления параллельного пучка частиц в результате того или иного процесса. Говорят, например, об эффективном сечении упругого или неупругого рассеяния электрона на атоме, о полном сечении рассеяния электрона на атоме и т. д. Сейчас нас интересует полное ослабление параллельного пучка нейтронов, электронов и других частиц в результате их рассеяния на атомных ядрах. Действие ядра наглядно можно описать так, как если бы оно представляло собой непроницаемую площадку размером $\sigma$, перпендикулярную к падающему пучку, которая выводит из пучка падающие на нее частицы. Площадка $\sigma$ и называется эффективным сечением (или просто сечением) ядра. Рассмотрим плоскопараллельный слой толщиной $d x$ и площадью $S$, перпендикулярный к падающему пучку частиц, равномерно заполненный рассеивающими ядрами. В таком слое содержится $S n d x$ ядер и связанных с ними площадок $\sigma$, где $n$ – число ядер в единице объема. Общая площадь таких площадок равна $S n \sigma d x$, причем из-за малости толщины $d x$ площадки можно считать неперекрывающимися. Относительная доля частиц $-d N / N$, выводимая из пучка при прохождении рассматриваемого слоя, будет $S n \sigma d x / S=n \sigma d x$. Таким образом,
\[
\frac{d N}{N}=-n \sigma d x,
\]

и, следовательно,
\[
N=N_{0} e^{-n \sigma x} .
\]

Измеряя ослабление интенсивности потока частиц $N$ при рассеянии на ядрах, можно найти эффективное сечение ядра $\sigma$.
6. Как же связано полное эффективное сечение $\sigma$ с размерами ядра в случае падения на него, например, пучка нейтронов? Это, конечно, зависит от энергии нейтронов и от строения ядра. Простейшей является модель непрозрачного ядра. Для ее применимости необходимо, чтобы энергия нейтронов была не особенно велика. В противном случае (например, при энергиях, больших 100 МэВ) ядро, по крайней мере частично, становится прозрачным, поглощая не все падающие на него нейтроны. Однако необходимо наложить на энергию нейтронов еще и противоположное требование. Она должна быть достаточно велика, чтобы длина дебройлевской волны нейтрона была заметно меньше диаметра ядра $2 R$. Обоим условиям удовлетворяют быстрые нейтроны с энергией 20 МэВ. Ядро будет поглощать и рассеивать дебройлевские волны так, как черный экран. Для коротких длин волн вблизи ядра применима геометрическая оптика, а потому сечение поглощения будет равно геометрическому сечению ядра $\pi R^{2}$. Но нейтроны выбывают из пучка не только из-за поглощения, но и из-за дифракционного рассеяния в стороны. В случае коротких длин волн, указанных выше, дифракция будет фраунгоферовой, так как условие ее применимости
\[
x \gg \frac{(2 R)^{2}}{\lambda} \approx \frac{\left(2 \cdot 10^{-12}\right)^{2}}{0,5 \cdot 10^{-12}} \approx 8 \cdot 10^{-12} \mathrm{~cm},
\]

где $x$ – расстояние от ядра до точки наблюдения, для быстрых нейтронов, безусловно, выполняется. Но в случае фраунгоферовой дифракции черный экран рассеивает столько же нейтронов, сколько и поглощает. Это утверждение доказывается в точности так же, как и аналогичное утверждение в оптике (см. задачу к § 41 т. IV). Итак, для полного сечения ядра в рассматриваемой модели можно написать
\[
\sigma=2 \pi R^{2} .
\]

Измерив $\sigma$, можно по этой формуле вычислить $R$. Опыты с быстрыми нейтронами ( $\mathscr{E}_{\mathrm{n}} \approx 15-25$ МэВ) привели к результату $r_{0}=1,4 \times$ $\times 10^{-13} \mathrm{cм}$, а с еще более быстрыми ( $\mathscr{E}_{\mathrm{n}} \approx 100$ МэВ и $\mathscr{E}_{\mathrm{n}} \approx 1000$ МэВ) дали $r_{0}=1,37 \cdot 10^{-13}$ см и $r_{0}=1,28 \cdot 10^{-13}$ см. Это указывает на частичную прозрачность ядер для очень быстрых нейтронов.
7. Наиболее точные результаты по измерению размеров ядер получаются при рассеянии быстрых электронов на ядрах. Как показано в п. 4, при энергии электронов порядка 100 МэВ длина дебройлевской волны становится сравнимой с размерами ядер. При длинах волн такого порядка должна отчетливо проявиться дифракция электронов на ядрах атомов. По угловому распределению быстрых электронов при упругом рассеянии их на ядрах можно судить о размерах ядер. В первых опытах использовались электроны, ускоренные синхротроном до нескольких десятков мегаэлектронвольт. В последующих более точных опытах Хофштадтера (р. 1915) применялись электроны с энергиями до сотен мегаэлектронвольт. В предположении, что электрический заряд равномерно распределен по ядру, обработка результатов измерений дала $r_{0}=(1,2-1,3) \cdot 10^{-13}$ см.

Высокая точность опытов по рассеянию быстрых электронов на ядрах ( $\mathscr{E}>500 \mathrm{M}$ эВ) позволила установить, что электрический заряд неравномерно распределен по объему ядра. Результаты опытов лучше всего согласуются с предположением, что плотность электрического заряда максимальна в центре ядра и для тяжелых ядер монотонно убывает к периферии согласно формуле
\[
\rho=\frac{\rho_{0}}{1+\exp \left[\left(r-R_{0}\right) / \delta\right]},
\]

где $R_{0}$ – расстояние от центра ядра, на котором плотность убывает в два раза по сравнению с $\rho_{0}$, а величина $\delta \approx 0,55 \cdot 10^{-13}$ см, т.е. одинакова для всех ядер. Для всех исследованных ядер $R_{0}=1,08 \times$ $\times 10^{-13} A^{1 / 3}$ см. Отсюда следует, что в центре ядра $\rho_{0}$ практически совпадает с $\rho$.
8. Как уже указывалось во введении (§ 63 ), в 1937 г. в космических лучах были открыты мюоны – нестабильные частицы со временем жизни $2,2 \cdot 10^{-6}$ с. Они могут быть положительными и отрицательными. Свойства отрицательного мюона аналогичны свойствам электрона. Эти частицы отличаются одна от другой только массой: $m_{\mu} \approx 207 m_{\mathrm{e}}$. Замедляясь в веществе до определенной скорости, отрицательный мюон может захватываться атомом, замещая один из электронов атомной оболочки. Образовавшаяся система называется мезоатомом. Так как масса мюона в 207 раз больше массы электрона, то боровский радиус для него в такое же число раз меньше. Он равен $r_{\mu B}=\hbar^{2} / Z m_{\mu} e^{2}$, где $m_{\mu}$ – масса мюона. Таким образом, мюон может очень близко подходить к атомному ядру. Уже при $Z \approx 30$ боровская орбита мюона лежит внутри ядра. Для свинца $(Z=82)$, например, эта формула дает $r_{\mu B}=3,11 \cdot 10^{-13}$ см. При переходе мюона с одного энергетического уровня на другой испускаются жесткие рентгеновские лучи. Их энергию можно измерить и рассчитать теоретически. Результаты вычислений сильно зависят от предположений относительно размеров ядер и поэтому могут служить для определения последних. Особенно точные результаты получаются для тяжелых ядер, поскольку в этих случаях мюон может очень близко подходить к ядру. Например, для свинца получается $r_{0}=1,17 \cdot 10^{-13} \mathrm{~cm}$, а $R\left({ }^{207} \mathrm{~Pb}\right)=1,17 \cdot 10^{-13} \times$ $\times 207^{1 / 3}=6,9 \cdot 10^{-13} \mathrm{cм}$.
9. Радиусы $\alpha$-радиоактивных ядер могут быть найдены по времени их жизни относительно $\alpha$-распада. Об этом методе сказано в § 73 (п. 11).

10. До открытия нейтрона общепринятой считалась электроннопротонная модель ядра, согласно которой ядро состоит из $A$ протонов и $C$ электронов, так что зарядовое число равно $Z=A-C$. Малые размеры ядер являются сильной аргументацией против такой модели. Действительно, возьмем, например, ядро с радиусом $R=3 \cdot 10^{-13}$ см, т. е. с диаметром $2 R=6 \cdot 10^{-13}$ см. Если бы частица (протон, нейтрон или электрон) находилась внутри ядра, то ее импульс $p$ определялся бы там оценочной формулой
\[
p=\frac{h}{2 R} \approx 1,1 \cdot 10^{-14} \Gamma \cdot \mathrm{cm} / \mathrm{c},
\]

а энергия электрона по релятивистской формуле $\mathscr{E}=p c$ была бы равна $3,3 \cdot 10^{-4}$ эрг $\approx 200$ МэВ. Такого же порядка были бы и энергии электронов внутри других ядер. Среди искусственно получаемых ядер встречаются $\beta$-активные ядра всех атомных чисел (за исключением протона). Маловероятно, что энергия $\beta$-электрона, вылетевшего из ядра, существенно отличалась бы от его энергии внутри ядра. При $\beta$-распаде не наблюдаются электроны с большими энергиями (порядка 100 МэВ). Это противоречит протонно-электронной модели ядра. Электроны, получающиеся при $\beta$-распаде, не содержатся в исходном ядре, а образуются в результате этого процесса.

Совсем иначе обстоит дело с протонами и нейтронами. Энергию каждой из таких частиц можно оценить по нерелятивистской формуле $\mathscr{E}=p^{2} / 2 m$, где $m$ – масса протона или нейтрона. Подстановка числовых значений дает $\mathscr{E} \approx 10^{-5}$ эрг $\approx 6$ МэВ. Это – разумный результат, так как средняя энергия связи в ядре на один нуклон составляет около 8 МэВ. Таким образом, протоны н нейтроны могут содержаться и действительно содержатся в ядре.

Приведенное здесь возражение против нахождения электронов внутри ядра неприменимо к частицам, масса которых составляет несколько десятых масс нуклона, например к $\pi$-мезонам или кваркам.

Современные эксперименты по глубоко неупругому рассеянию мюонов на ядрах (т. е. рассеянию с большим изменением импульса мюона и рождением вторичных частиц) свидетельствуют о том, что в ядре могут содержаться кварковые ассоциации, более тяжелые, чем нуклоны.